由题知二面角A1?BC?A为锐角，所以其余弦值为

33. ……………….10分

（Ⅲ）假设棱A1B1上存在点N(x,y,z)，使得HN‖平面A1BC.

由A1N??A1B1(0???1)，又A1B1?(1,0,0)，故A1N?(?,0,0).

uuuruuuuruuuuruuur11，1)，H为CC1的中点，所以H(0， 因为C1(0，1，).

2uuuruuuruuur1所以HN?HA1?A1N?(?,-1,).

2uuur11若HN‖平面A1BC，则HN?n??-1+?0，解得???[0,1].

22又因为HN?平面A1BC.

所以在棱A1B1上存在点N，使得HN‖平面A1BC，且

A1NA1B1?12.

……………….14分 19．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A. 由题意，有B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过

3.5吨， 所以P(A)?25. ……………….4分

（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，

所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区. X的所有可能取值为0，1，2.

9

P(X?0)?2C32C5?310?110；

P(X?1)?11C3?C22C52C22C5610.

?35；

P(X?2)??所以X的分布列为:

X P 0 1 2 33105103314E(X)?0??1??2??．

105105 ……………….13分

1

20.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x?y?6?0相切，

所以半径b等于原点到直线的距离d，b?d? 由离心率e?0?0?61?1，即b?3.

c11，可知?，且a2?b2?c2，得a?2.

a22x2y2故椭圆C的方程为??1. ……………….4分

43（Ⅱ）由椭圆C的方程可知S(2,0).

若直线l的斜率不存在，则直线l方程为x?1，

33所以P(1,), Q(1,?).

22则直线PS的方程为3x?2y?6?0，直线QS的方程为3x?2y?6?0.

3). 令x?4，得A(4,-3)，B(4, 所以A，B两点的纵坐标之积为?9.

10

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?k(x?1)(k?0),

由??y?k(x?1)8k2x?4k2?12?0，

?3x2?4y2?12?0得(3?4k2)x2?依题意??0恒成立.

设P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1,x2?0)，

则x8k241?x2?3?4k2,xk2?121x2?3?4k2.

设A(4,yA)B(4,yB)， 由题意P，S，A三点共线可知

yA4?2?y1x， 1?2所以点A的纵坐标为y2y1A?x2. 1?同理得点B的纵坐标为y2y2B?x. 2?2所以y2y1AyB?x?2?2y2x. 12?2

?4k2x1x2?(x1?x2)?1

x1x2?2(x1?x2)?4?4k24k2?12?8k2?4k2?34k2?12?2?8k2?4(4k2?3)?4k2??94k2??9

综上，A，B两点的纵坐标之积为定值.

21．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）当a?1时，因为f(x)?13x3?x2?x

11

……………….13分

所以f?(x)?x?2x?1，f?(0)?1. 又因为f(0)?0，

所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?x. ……………….4分 （Ⅱ）因为f(x)?213x3?2(a?1)2x2?ax，

所以f?(x)?x?(a?1)x?a?0. 令f?(x)?0，解得x?a或x?1.

若a?1，当f?(x)?0即x?1或x?a时，函数f(x)单调递增； 当f?(x)?0即1?x?a时，函数f(x)单调递减.

22若a?1，则f?(x)?x?2x?1?(x?1)?0，

当且仅当x?1时取等号，函数f(x)是增函数.

若a?1，当f?(x)?0即x?a或x?1时，函数f(x)单调递增.

当f?(x)?0即a?x?1时，函数f(x)单调递减.

综上，a?1时，函数f(x)单调递增区间为(??,1),(a,+?)，单调递减区间为(1,a)；

a?1时，函数f(x)单调递增区间为(??,??)；

1). a?1时，函数f(x)单调递增区间为(??,a),(1,+?)，单调递减区间为(a,……………….9分

（Ⅲ） 令f?(x)?x?(a?1)x?a?0，解得x?a或x?1.

当a?0时，随x变化，f?(x),f(x) 变化情况如下表：

2 12