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定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释：
原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题. 要点六、直角三角形全等的判定（HL）
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角
形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三
角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，
书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【典型例题】 类型一、勾股定理
1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． （1）若a＝5，b＝12，求c； （2）若c＝26，b＝24，求a．
【思路点拨】利用勾股定理a?b?c来求未知边长． 【答案与解析】
解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，a?b?c，a＝5，b＝12，
所以c?a?b?5?12?25?144?169．所以c＝13． （2）因为△ABC中，∠C＝90°，a?b?c，c＝26，b＝24，
所以a?c?b?26?24?676?576?100．所以a＝10．
【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理的原式还是变式． 举一反三：
【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）已知b＝2，c＝3，求a；
（2）已知a:c?3:5，b＝32，求a、c． 【答案】 解：（1）∵∠C＝90°，b＝2，c＝3，
∴a?c2?b2?32?22?5； （2）设a?3k，c?5k．
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∵∠C＝90°，b＝32， ∴a?b?c． 即(3k)?32?(5k)．
解得k＝8．
∴ a?3k?3?8?24，c?5k?5?8?40．
2、一圆形饭盒，底面半径为8cm，高为12cm，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？
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【答案与解析】
解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm，所以底面直径DC长为16cm．
则在Rt△BCD中，BD2?DC2?BC2， 所以BD?DC2?BC2?162?122?20(cm)．
答：筷子最长不超过20cm，可正好盖上盒盖． 【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长． 举一反三：
【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗杆折断前有多高？
【答案】
解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，
∴ AB?BC?AC?5?12?169． ∴ AB?169?13(m)． ∴ BC＋AB＝5＋13＝18(m)． ∴ 旗杆折断前的高度为18m．
类型二、勾股定理的逆定理
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3、判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形． （1）a＝7，b＝24，c＝25； （2）a＝
43，b＝1，c＝； 342222（3）a?m?n，b?m?n，c?2mn(m?n?0)；
【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的
两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．
【答案与解析】
解：（1）∵ a?b?7?24?625，c?25?625，
∴ a?b?c．
∴ 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．
222222222925?3??4?16 （2）∵ a?b?c，b2?c2?12????1?，a2????， ?4161639????∴ b?c?a．
∴ 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形．
（3）∵ m?n?0，
∴ m?n?2mn，m?n?m?n．
∵a?c?(m?n)?(2mn)?m?2mn?n?4mn?m?2mn?n，
222222422422422422222222222b2?(m2?n2)2?m4?2m2n2?n4，
∴ a?c?b．
∴ 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．
【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证c与a?b是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形，第3小题，m,n可以取特殊值，代入到三边中，也可以判断其三边的大小． 举一反三：
【变式1】判断以线段a，b，c为边的△ABC是不是直角三角形，其中a?2222227，b?3，c?2．
【答案】
解：由于a?c?b，因此a为最大边，只需看a是否等于b?c即可．
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222222222∵a?(7)?7，b?(3)?3，c?2?4，∴a?b?c，
∴以线段a，b，c为边能构成以a为斜边的直角三角形．
【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ） A．20:15:12 B．3:4:5 C．5:4:3 D．10:8:2 【答案】A.
提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：
12，即20:15:12. 5+（c﹣4
）=0．
2
4、（2016春?临清市期末）已知a、b、c满足|a﹣（1）求a、b、c的值；
|+
（2）判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果； （2）根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可． 【答案与解析】
解：（1）∵a、b、c满足|a﹣
∴|a﹣解得：a=（2）∵a=
∴a+b=
|=0，
|+
+（c﹣4）=0．
2
）=0．
2
=0，（c﹣4
；
，b=5，c=4
，b=5，c=4+5＞4
，
，
∴以a、b、c为边能构成三角形， ∵a+b=（
2
2
）+5=32=（4
22
）=c，
22
∴此三角形是直角三角形， ∴S△=
=
．
【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 类型三、勾股定理、逆定理的实际应用
5、（2015春?遵义期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻
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