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∴不能组成三角形，

②2是底边长时，三角形的三边分别为2、5、5， 能组成三角形， 周长=2+5+5=12，

综上所述，它的周长是12． 故答案为：12．

9. 【答案】两直线平行；

【解析】根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案. 10.【答案】70°或40°； 【解析】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°；

（2）当70°为底角时，顶角=180°-2×70°=40°． 故答案为：70°或40°.

11.【答案】②③④； 【解析】：②当∠BAD=∠CAD时，

∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高； 则△ABD≌△ACD，

∴△BAC是等腰三角形；

③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；

∵AB+BD=CD+AC， ∴DE=DF，又AD⊥BC； ∴△AEF是等腰三角形； ∴∠E=∠F； ∵AB=BE，

∴∠ABC=2∠E；

同理，得∠ACB=2∠F；

∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形； ④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得： AB﹣BD=AC﹣CD， 即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）； ∵AB﹣BD=AC﹣CD， ∴AB+BD=AC+CD； ∴两式相加得， 2AB=2AC； ∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形 故填②③④． 12.【答案】8；

【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，

2

2

2

2

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∴BD=DC．

∵AB+AC+BC=32， 即AB+BD+CD+AC=32， ∴AC+DC=16 ∴AC+DC+AD=24 ∴AD=8． 故填8．

三.解答题 13.【解析】

证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H， ∵AB＝AC，AE＝AD．

∴设∠B＝∠C＝x，则∠EAD＝2x，

180??2x?90??x 2 即∠BDH＝90°－x

∴∠B＋∠BDH＝x＋90°－x＝90°，

∴∠ADE＝

∴∠BHD＝90°，ED⊥BC. 14.【解析】

解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，

则有或，

解得：或，

此时两种情况都符合三角形三边关系定理，

答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12．

15.【解析】

证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；

根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；

则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾； 所以假设错误，原命题正确； 即等腰三角形的底角是锐角．

北师大版八年级下册数学

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重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

直角三角形----知识讲解（基础）

【学习目标】

1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用. 【要点梳理】

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为

a，b，斜边长为c，那么a2?b2?c2.

要点诠释：

（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建

立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：a?c?b，b?c?a， c??a?b??2ab.

22222222（4）勾股数：满足不定方程x?y?z的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达

哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……

②如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

222，2n，n?1（n?1,n是自然数）是直角三角形的三条边长； ③n?1④2n?2n,2n?1,2n?2n?1（n是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤m?n,m?n,2mn （m?n,m、n是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中

，所以

.

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方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中

，所以

.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

要点三、勾股定理的逆定理

，所以.

如果三角形的三条边长a，b，c，满足a?b?c，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：

（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直

角三角形.

要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1） 首先确定最大边（如c）.

（2） 验证c与a?b是否具有相等关系.若c?a?b，则△ABC是∠C＝90°的

直角三角形；若c?a?b，则△ABC不是直角三角形.

要点诠释：

当a?b?c时，此三角形为钝角三角形；当a?b?c时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 要点五、互逆命题与互逆定理

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆

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