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∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°， 又∵∠ABC=∠DCB=60°，

∴∠BDC=180°﹣30°﹣60°=90°， ∴BC=2CD=2×4=8cm． 类型六、反证法

7. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 【答案】已知：△ABC

求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°

则∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°∴∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

【总结升华】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾；

（3）假设的结论不成立，则原题中的结论成立．

在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 举一反三：

【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ） A . a= —2 B . a= —1 C . a=1 D. a=2

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北师大版八年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1. （2016?曲靖一模）等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ） A．40°，40° B．80°，20°

C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°

2. 用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（ ）

A. 假设CD∥EF ; B. 假设AB∥EF

C. 假设CD和EF不平行

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D. 假设AB和EF不平行

3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一

条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

4. 已知实数x，y满足|x?4|+(y?8)＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对 5. 如图，D是AB边上的中点，将?ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若

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?B?50?，则?BDF度数是（ ）

A．60° B．70° C．80° D．不确定

6.（2015?永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二.填空题

7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．

8.（2015?嘉峪关模拟）等腰三角形的两边长分别是2和5，那么它的周长是 ． 9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_________. 10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .

11.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 _________ ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）

①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．

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12. 如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那

么AD的长为 .

三.解答题

13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．

试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．

14.（2016春?安岳县期末）等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长．

15. 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】D；

【解析】解：∵外角等于100°，

∴这个内角为80°，

当这个80°角为顶角时，则底角为数分别为50°，50°；

当这个80°角为底角时，则另一个底角为80°，顶角为20°，此时可得另两个内角的度数分别为80°，20°； 故选D．

2. 【答案】C；

【解析】用反证法证明CD∥EF时，应先假设CD与EF不平行．故选C．

=50°，此时另两个内角的度

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3. 【答案】B； 4. 【答案】B；

【解析】根据题意得

?x?4＝0, ??y?8＝0解得

?x?4. ??y?8（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8， 不能组成三角形；

（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， 能组成三角形，周长为4+8+8=20． 故选B．

5. 【答案】C；

【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，?BDF＝180°－50°－50°＝80°. 6. 【答案】D；

【解析】解：如图，

∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；

以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外）， ∴以OA为腰的等腰三角形有3个； 作OA的垂直平分线，交x轴于一点， ∴以OA为底的等腰三角形有1个， 综上所述，符合条件的点P共有4个， 故选：D．

二.填空题

7. 【答案】20；

【解析】∠A＝∠ABD＝40°，∠BDC＝∠C＝80°，所以∠CBD＝20°. 8. 【答案】12；

【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、5，

∵2+2=4＜5，

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