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3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边． 【答案与解析】

解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7； (2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长?1?10?5． 2 这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．

由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，3＋3＜7，故不能构成三角形，应舍去． ∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．

【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案． 举一反三：

【变式】已知等腰三角形的底边BC＝8cm，且|AC－BC|＝2cm，那么腰AC的长为( )． A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 【答案】A；

解 ：∵ |AC－BC|＝2cm，∴ AC－BC＝±2． 又BC＝8．

∴ AC＝10或6．

∴ AB＝10（cm）或（6cm）． 类型三、等腰三角形的性质及其运用 4、如图，在△ABC中，边AB＞AC． 求证：∠ACB＞∠ABC

【思路点拨】在AB上截取AE=AC，连接CE，根据等腰三角形的性质推出∠AEC=∠ACE，根据三角形的外角性质求出∠AEC＞∠ABC即可． 【答案与解析】

证明：证明：在AB上截取AE=AC，连接CE，

∵AE=AC，

∴∠AEC=∠ACE， ∵∠AEC＞∠B， ∴∠ACB＞∠ABC．

【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，能推出∠AEC=∠ACE

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和∠AEC＞∠ABC是解此题的关键．

举一反三：

【变式】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD． 求证：DB=DE．

【答案与解析】

证明：如图，在△ABC中， ∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠2=60°， ∵BD是中线，

∴BD是∠ABC的平分线， ∴∠1=30°， ∵CE=CD， ∴∠E=∠3， ∴∠E=∠2=30°， ∴∠E=∠1， ∴DB=DE．

类型四、等腰三角形的判定

5、如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．

（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由； （2）若BD=4、CE=3，求DE的长；

（3）若 AB=12、AC=9，求△ADE的周长；

（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么

结论呢？

【思路点拨】（1）运用两三角形两底角相等得出等腰三角形； （2）由等腰三角形两腰相等求解；

（3）由△ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AB+AC求解；

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（4）由OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，得出△BDO和△ECO是等腰三角形，利用等腰三角形两腰相等得出△ODE的周长等于BC的长度． 【答案与解析】 解：（1）△DBO和△EOC是等腰三角形．

∵BO平分∠ABC， ∴∠DBO=∠CBO， ∵DE∥BC，

∴∠CBO=∠DOB， ∴∠DBO=∠DOB， ∴DB=DO，

∴△DBO是等腰三角形， 同理△EOC是等腰三角形； （2）∵BD=4、CE=3，

∴由（1）得出DO=4，EO=3， ∴DE=DO+OE=4+3=7；

（3）△ADE的周长=AD+DO+OE+AE；

∵DO=DB，OE=EC，

∴△ADE的周长=AB+AC， ∵AB=12、AC=9，

∴△ADE的周长=AB+AC=12+9=21；

（4）∵OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴△BDO和△ECO是等腰三角形， ∴BD=DO，CE=OE， ∵BC=16，

∴△ODE的周长为16．

即△ODE的周长等于BC的长度．

【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等． 举一反三

【变式】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：

①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC． 上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．

【答案】①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形；

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证明：∵在△EBO和△DCO中，

∵

，

∴△EBO≌△DCO（AAS）， ∴BO=CO，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB， 即∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形．

类型五、 含有30°角的直角三角形

6. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.

【答案与解析】证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，

又∵∠A=60°，∴∠ACD=30°

∴在Rt△ACD中，AD=又∵∠ACB=90°， 在Rt△ACB中， ∴∠B=30°，

1AC， 211AB ∴AD= AB， 241则AD=BD，即BD=3AD.

3∴AC=

【总结升华】根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半可得到BC=2BD，AB=2BC，从而可推出AB=4BD，从而不难证得BD与AD的数量关系．此题主要考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 举一反三：

【变式】如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD=4cm，∠ABC=∠DCB，求BC的长．

【答案】解：∵AD∥BC，∠A=120°，

∴∠ABC=180°﹣120°=60°，

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