2014-2015学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷

二、填空题（本大题共有14个小题，每小题5分，共70分） 1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z=1+i，则z的模为 ．

2．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩B= ． 3．（5分）已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且tanα=﹣，则x的值 ． 4．（5分）根据如图所示的流程图，则输出的结果i为 ．

5．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 ．

6．（5分）若一组样本数据8，x，10，11，9，的平均数为10，则该组样本数据的方差为 ．

7．（5分）已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率等于 ．

8．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则9．（5分）将函数

= ．

的图象向左平移m（m＞0）个长度单

位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是 ．

10．（5分）已知菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC

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上，=，=，若?=﹣1，则λ= ．

的最大值为 ．

11．（5分）已知正实数a，b满足9a2+b2=1，则

12．（5分）已知数列{an}的首项a1=1，前n项的和为Sn，且满足2an+1+Sn=2（n∈N*）．则满足

＜

＜

的n的最大值为 ．

13．（5分）已知点A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，圆M上存在点T使得∠MAT=45°，则实数a的取值范围是 ．

14．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=

，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+

=0，a∈R有且仅

有8个不同实数根，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共有6个小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（14分）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）． （1）当∥时，求tan（x﹣

）的值；

]时，求f（x）的值域．

（2）设函数f（x）=2（+）?，当x∈[0，

16．（14分）如图，过四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开，得到截面BDEF．

（1）请在木块的上表面作出过P的锯线EF，并说明理由；

（2）若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB1D1D是矩形，试证明：平面BDEF⊥平面A1C1CA．

17．（14分）某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与

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促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品

）

还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+元/件．

（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 18．（16分）已知椭圆C：

+

=1的上顶点为A，直线l：y=kx+m交椭圆P，

Q两点，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2． （1）若m=0，时求k1?k2的值；

（2）若k1?k2=﹣1时，证明直线l：y=kx+m过定点．

19．（16分）在数列{an}、{bn}中，已知a1=0，a2=1，b1=1，b2=，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且满足Sn+Sn+1=n2，2Tn+2=3Tn+1﹣Tn，其中n为正整数．

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）问是否存在正整数m，n，使

＞1+bm+2成立？若存在，求出所有符

合条件的有序实数对（m，n）若不存在，请说明理由．

20．（16分）设函数f（x）=x2lnx﹣ax2+b在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+b．

（Ⅰ）求实数a及x0的值；

（Ⅱ）求证：对任意实数b∈（0，），函数f（x）有且仅有两个零点．

附加题选做题：请在21-24题选定其中两题，若多做，则按作答的前两题评分，

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解答时应写出文字说明或演算步骤。选修4-1几何证明选讲

21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．

选修4-2：矩阵与变换 22．已知矩阵M=

，试求：

（Ⅰ）矩阵M的逆矩阵M﹣1；

（Ⅱ）直线y=2x在矩阵M﹣1对应的变换作用下的曲线方程．

选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知半圆C的参数方程为

，a为参数，a∈[﹣

，

]．

（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=坐标．

选修4-5：不等式选讲

24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a| （I）当a=2时，解不等式f（x）≥4．

（Ⅱ）若不等式f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围．

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，试写出T点的极