利用太阳影子定位定时

摘要

影子是时刻伴随我们身边的朋友，太阳光下的影子可以给我提供很多的信息。如何利用影子的位置来确定日期和地点是本文要解决的主要问题。本文运用了几何知识、曲线拟合以及地理知识等方法解决了这些主要问题，得到了影子长度随时间的变化曲线和根据影子分析位置。

针对问题一，我们建立了影长变化模型，以解决在天安门广场时间与影长的变化关系，并用excel软件画出了相应的函数变化曲线。

针对问题二，我们建立了影顶定位模型，该模型主要解决了如何求解影子的经度的问题；由于该模型功能有限，我们也建立了求解地方纬度的模型，然后用经纬度地图查询软件定位出了所求点的位置。

针对问题三，假设时间，利用问题二中建立出来的影顶模型、影长的变化率和最短影长的关系以及时差的分析确定经纬，确定位置。

针对问题四，从附件4中按比例求出影长，然后假设最短影长，利用问题二中建立出来的影顶模型、影长的变化率和最短影长的关系以及时差的分析确定经纬，确定位置。

最后，对所建立的模型和求解方法的优缺点给出了客观的评价，并指出了改进的方法。

关键词：影长 曲线拟合 几何分析模型 定位

一、 问题重述

1.1 问题背景

太阳影子定位的发展有助于人们对身边事物的充分了解和利用，阳光每天都会照耀在我们身上，我们是否有真正的懂得其中的哲理呢？ 随着人民生活水平的不断提高，人们对了解身边事物的渴望越来越强烈，研究太阳影子带来的科研成果将更加丰富人的生活，对世界有更多的了解和认识，拓宽人类的视野。在本

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文里我们将运用所学的知识，构造影子定位模型，根据影子计算出物体所处的地理位置和时间日期。为了进一步的了解太阳影子的带给我们的信息语言，我们小组创建了一下几个模型以解决在不同环境、不同地域下成立的影子定位模型。

1.2 本文需要解决的问题有：

（1）求解出太阳高度角及确定当地的赤纬与当地时角 （2）当地纬度和太阳高度角间的联系 （3）时差分析 （4）经纬度定位

二、问题分析

2.1问题一 “建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律”我们在建立模型之前首先查阅了相关的资料，初步设想了解决问题的方案。提出问题：直立杆在太阳光下的影子是怎样变化的？求解影长首先我们想到的是利用三角函数，因为在太阳光下，太阳光经过杆顶会与地面形成一个夹角α，影长l-直杆h-太阳直射光线 形成的一个直角三角型，示意如图2-1

若知道α角和h的高即可利用正切三角公式tanα= h/l 影长l=h/tanα所以，求出α角即为求出影长的关键。(α即为太阳高度角)

2.2问题二，根据数据分析出最小影长，得到当地的正午时间，利用时差分析出当地的经度，利用太阳高度角公式[1]sin α=sin φ sin δ+cos φ cosδ cos t以及三角函数关系sinφ2+cosφ2=1联立方程组，此方程组仅有sinφ、cosφ为未知量，

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即可求出sinφ和cosφ的值，利用反三角函数求出φ的值，也就是我们所需要的纬度，利用求出的经度和纬度在地图上确定可能的位置。

2.3问题三，根据附件2中的各点（Xi，Yj），拟合出方程Y=0.51X+0.816,依据推论（正午最短影长的投影应该在X轴或Y轴上），经初步验证排除了最短影长在Y轴上的可能。跟据影长的变化率，确定最短影长的当地时间，利用时差确定其经度，同理可依据附件3中的数据确定可能地点的经度。假设一个日期，根据纬度求解方法求出当地纬度。

2.4 问题四， 按照一定的时间间隔分别记录若干组影子与杆长的比例，求出不同的影长。日期可以用来算积日，当地时间可以求得时角，故可以求得每个角的太阳高度角的正弦值，利用太阳高度角公式sin α=sin φ sin δ+cos φ cosδ cos t求出sinφ，利用反三角函数求出φ的值，也就是我们所需要的纬度；依据附表4求得影长随时间的变化率，求得最短影长分析时差计算出经度。最后利用所求出的经纬度在地图上确定位置。

三、模型假设与约定

3.1模型一假设

（1）2015年10月22日9：00-15：00北京天安门广场整天都有阳光照射 （2）直杆没有被任何物体所遮挡，且不被风力所影响 （3）太阳高度角不受地球热面大气折射的影响 3.2模型二假设

（1）约定直杆长h=3m

（2）直杆所处位置白昼时间都有阳光照射 （3）假设地球公转是匀速圆周运动 3.3模型三假设

（1）假设直杆长度h=3m

（2）不考虑特殊情况的影响（如：没有阳光） 3.4模型四假设

（1）影长变化率是按线性变化的

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（2）最短影长为l=1m （3）忽略测量是的误差

四、符号说明及名词定义

符号 意义 a、b、c h l t d N T (Xi，Yj) α δ 常数 直杆长度（m） 影子长度（m） 时角（°） 该日期距离春分日的天数（天） 积日（天） 距离12：00的小时数 坐标 太阳高度角（°） 当地赤纬（°） 当地纬度（°） 地球公转角速度（°） 太阳直射纬度（°） ? ? ?

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五、模型建立和解决

5.1模型一

5.1.1模型准备

（1）模型符号说明 α：太阳高度角（°） h：直杆长度（m） l：影子长度（m） δ：赤纬（°）

?：当地纬度（°）

t：当地时角（以当地时间12：00为0°，后每小时增加15°） N:积日（1月1日-当日相距天数） T：该时间距离12：00的小时数（h） （2）太阳光线的确定

为建立模型简单合理，取经过杆顶的一条太阳光线与地面形成夹角α且α在0°—— 90°之间,所以α=arctan（h/l）。

（3）模型近似

为了求解模型方便，将直杆所处地面近似为绝对水平面，无任何的凹凸起伏。而且直杆立与地面保持与地面的相对静止。 5.1.2 模型的建立

为帮助理解，我们做了太阳光线与地面、直杆影长所构成的示意图如图5.12-1所示

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我们的求解目的是求出影子的长度，已知杆长为h=3m，我们已经假设了影长为l，太阳高度角为α根据示意图如果要求影子长度由正切三角函数公式

tan??可知，我们首先要确定α角的值。

h l为了求解出太阳高度角的值，建立一下的数学模型

sin α=sin? sinδ+cos ? cosδ cos t

即求解出α的值成为了解决本题的关键。要求出α的值，但是有三个未知量分别是当地纬度?、赤纬角度δ

[2]

、当地时角t

[3]

。由题目的已知条件，我们可

以得到当地纬度的的值是“北纬39度54分26秒”， 即

?=39°54′26″

时角t可以通过题目给定的时间日期是可以计算的即

t=T*15°

所以要求解出sinα就必须建立一个模型求δ

这里的δ表示的是从天赤道沿着天体的时圈至天体的角度称为该天体的赤纬。

根据地球示赤纬意图如图5.1.2-2所示

赤纬 图5.1.2-2

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由于太阳赤纬角在周年运动中任何时刻的具体值都是严格已知的,即可建立以下模型用来求解sinδ的值

sinδ=0.39795*cos[0.98563*(N-173)]

其中N表示的是积日（1月1日-当日相距天数）。 5.1.3 模型的求解

（1）已知：

日期 2015年10月22日（用来求积日N）

北京时间 9:00-15:00 [用来求当地时间（求时角t ）]

地点 天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒） 杆高 h=3m （2）计算 由已知可求得

N=295

利用公式

sinδ=0.39795*cos[0.9856*(N-173)]

sin2δ+cos2δ=1

求得

sinδ=0.25772，cosδ=0.96622

又由

t=T*15°

求出不同时间的时角t，然后不同时间的时角的余弦cost，见图表5.1.3-1所示； 利用已知条件求出cos?和sin?的值，即cos?=0.766269，sin?=0.64252 利用公式

sin α=sin? sin δ+cos ?cosδ cos t

求出不同时间sinα的值，见图表5.1.3-1所示，再根据

sin2α+cos2α=1，sinα?tanα cosα求出不同时间的tanα的值，见图表5.1.3-1所示 利用公式

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tanα=h l求得不同时间的影长l 见图表5.1.3-1所示

图表5.1.3-1 根据所计算出的数据建立影长-时间变化曲线如下图5.1.3-2所示

影长-时间变化曲线图5.1.3-2 再根据曲线，用excel拟合出时间与影长的变化规律函数为

l = 0.1943*T2 - 4.7694*T + 30.676

5.2模型二

5.2.1模型准备 （1）模型符号说明 α：太阳高度角（°）

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δ：赤纬（°）

t：当地时角（以当地时间12：00为0°，后每小时增加15°）

φ：当地纬度（°）

?：太阳直射点纬度 （°）

?：地球公转角速度（rad/天） d：距离春分日的时间（天） （2）模型约定

杆的长度为h=3m，不考虑特殊因素的影响 5.2.2 模型的建立

由题目提供的信息与所要解决的问题，我们建立了以下的“影顶模型”。 根据附件1影子顶点坐标数据，求出最小影长，根据时差就得当地经度。 由于太阳直射点每时每刻都在变，所以

?=360°/365

建立一个求解太阳直射角[4]的数学模型如下

?=arcsin[23°26′*sin（?d）]

将公式简化为

?=[0.4*sin（0.9863*d）]

已知

α=90°-|φ-?| tanα=

h和l是已知量可求出α角，式中只有φ为未知量，即可求出φ的值，也就是当地的纬度，然后根据经纬度在地图上确定位置。

5.2.3 模型的求解 （1）已知

地球公转角速度?=360°/365≈0.9863°/d 杆长h=3m （2）计算

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h l1经度的计算分析，如图5.2.3-1所示 ○

图5.2.3-1 如上图所示，设x=0时影长最小，根据附表一中的数据求出每分钟x轴上的变化率

（1.8277-1.0365）/60=0.13186667

再求出x的值从0—1.8277所需要的时间，根据x=1.8277的时间为14：42，根据时间差求出x=0的时间，也就是最小影长的时间按照时差求出经度。具体过程如下：

1.8277/[（1.8277-1.0365）/60]=78=1:18

14:42-1:18=13:24 13:24-12:00=1:24

根据东经120°到达正午的时间是12：00，而此地到达正午的时间是13：24，根据时差可以求此地经度109.25°（每小时相差15°）。 2纬度的计算 ○

tanα=h，得α=56.6° l?=[0.4*sin（0.9863*d）]，d=28，得?=10.5°

α=90°-|φ-?| 得φ=33°和φ=33.5°

求解出相应的经纬度为（33°N，109.25°E）和（33.5°N，109.25°E）在地图

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上的具体位置分别如图

图5.2.3-2

图5.2.3-3

5.3 模型三

5.3.1模型准备 （1）模型约定 杆长为3m a，b，c：常数

假设附表2日期分别为2月4日、10月1日；假设附表3的日期分别为5月1日、9月3号 5.3.2 模型的建立

以附表2中的数据为依据，影长l=x2?y2，求解出tanα。拟合出附表2中（Xi，Yj）的方程，求出最小影长，根据时差就得当地经度。 根据公式

sin α=sin? sin δ+cos ?cosδ cos t sin2α+cos2α=1 可以求得纬度，确定地点。 5.3.3 模型的求解 （1）已知 影子顶点坐标数据 （2）计算

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1经度计算 ○

拟合出附表2中（Xi，Yj）的方程为

Y=0.51X+0.816

拟合图像如图示图5.3.3-1

图5.3.3-1

推理可得最短影长为1.6m，变化率为（0.4484-0.173）/60=0.00459；时间差值为38分钟，根据东经120°到达正午的时间是12：00，而此地到达正午的时间是12：03，根据时差可以求此地经度119.25°（每小时相差15°）。同理将此计算方法用于附件3中数据可得经度为116.5° 2纬度计算 ○根据公式

sin α=sin? sin δ+cos ?cosδ cos t sinα+cosα=1

sinα=a，sinδ=b，cosδ*cost=c；

22ac?（-2ac）-（4c2?b2）?（a2-b2）可以求出cos?=； 22（2c?b）2

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依据附件2求纬度

当日期为2月4日求得纬度为48°；当日期为10月1日求得纬度为33°综上所

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得经纬度分别为（48°N，119.25°E）和（33°N，119.25°E）确定的地点在地图上的位置图表5.3.3-2和5.3.3-3所示

图5.3.3-2

图5.3.3-3

依据附件3求纬度

当日期为5月1日求得纬度为40°；当日期为9月3日求得纬度为38°综上所得经纬度分别为（40°N，116.5°E）和（38°N，116.5°E）确定的地点在地图上的位置图表5.3.3-4和5.3.3-5所示

图5.3.3-4

图5.3.3-5

5.4 模型四

5.4.1模型准备

a，b，c：常数(与模型三相同)

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假设最短影长为l=1m

5.4.2 模型的建立

根据附件4分别记录多组影子与杆的比例数据，求出不同的影长和tanα值，又根据公式

sin2α+cos2α=1， sin α=sin? sin δ+cos ?cosδ cos t

求出纬度

依据附表4求得影长随时间的变化率，求出最短影长的时间，按照时差求出经度

5.4.3 模型的求解 （1）已知 杆长2m （2）计算 1纬度计算 ○根据公式

sin α=sin? sin δ+cos ?cosδ cos t sin2α+cos2α=1

sinα=a，sinδ=b，cosδ*cost=c； 可以求得

22ac?（-2ac）-（4c2?b2）?（a2-b2）cos?= 22（2c?b）求出当地纬度为19°和25° 2经度计算 ○

分别记录附件4 中8：55，9：00，…，9：30（每隔5分钟取一组数据），按照比例分别求出不同的影长和影长岁时间的变化率

（2.357143-1.785714）/40=0.0143

求得最短影长点与附件4 中9：45的时间差值为55分钟，则求得最短影长时间为10：30,根据东经120°到达正午的时间是12:00，而此地到达正午的时间是10：30，根据时差可以求此地经度109°（每小时相差15°）。

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综上所得经纬度分别为（25°N，109°E）和（19°N，109°E）确定的地点在地图上的位置图5.4.3-1和图5.4.3-2所示

图5.4.3-2

图5.4.3-1 六、模型检验与评价

对于模型一

模型一运用几何模型和曲线拟合的原理，建立的影长随时间的变化规律符合生活规律（早上到正午影长由长变短，正午到傍晚影长由长变短），所以该模型是合理的，求得变化规律函数如下

l = 0.1943*T2 - 4.7694*T + 30.676

该模型基于严密的数学推导，结果可信度高，说服力强，影长随时间变化规律明显。

对于模型二

模型二基于模型一的基础，进一步推理，假设杆长已知。求出了可能的经度和纬度为（33°N，109.25°E）和（33.5°N，109.25°E），得到的可能地点分别为陕西省安康市和陕西省商洛市。

该模型是在假设杆长度的基础上建立的，说服力一般，在杆长未知的情况下不适用，但是模型建立的逻辑思维清晰，具有一定的科学性。 对于模型三

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模型三建立的思想与模型二无异，依据附表2中的数据得到经纬度为（48°N，119.25°E）和（33°N，119.25°E），可能的地点分别在内蒙古呼伦贝尔和江苏省淮安市；依据附表3中的数据得到经纬度为（40°N，116.5°E）和（38°N，116.5°E）得到可能的地点分别在北京市朝阳区和河北省衡水市。

该模型排除了跨国的点在一定的程度上会影响其准确性。 对于模型四

我们取了附件4视频中的若干个直杆与影长的比例，求得不同时间的影长，基于模型二理论确定了可能的经纬度（25°N，109°E）和（19°N，109°E）得到可能的地点分别位于广西河池市和海南东方市。

该模型在测量比例的时候难免有些误差，但基于模型二的严谨理论，可靠性较强。

九、模型推广

当今社会对科技的需求越来越高，卫星定位系统已不再是一个陌生的词语，太阳影子定位作为一门新兴的技术，即将广泛应用于生活中的各个领域，带给人们更多的便捷。

首先，太阳影子定位是廉价的，不用发射卫星等作为导航，只要有阳光就有影子，就可以实现影子定位。其次，若将太阳影子定位集成与某种设备上，即可实现非卫星的定位其开发空间远大。太阳影子定位系统可以用于以下几个方面的活动：紧急救生、个人旅游及野外探险、个人通讯终端、各种等级的大地测量,控制测量等

十、参考文献

[1] 百度百科，太阳高度角，http://baike.http://www.32336.cn//，2015年9月12日

[2] 王美玲，《地图投影与坐标变换》，北京：电子工业出版社，2014年1月113页-125页

[3]百度百科，时角，http://baike.http://www.32336.cn//view/823827.htm，2015年9月13日

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