πππ?π?又B为钝角，因此＋A∈?，π?，故B＝＋A，即B－A＝. 222?2?π?π?(2)解 由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－?2A＋?＝－2A＞0，
2?2?
?π?所以A∈?0，?.
4??
?π?于是sin A＋sin C＝sin A＋sin?－2A?
?2?
＝sin A＋cos 2A＝－2sin A＋sin A＋1 1?9?＝－2?sin A－?＋. 4?8?
π2
因为0＜A＜，所以0＜sin A＜，
421?2992?因此＜－2?sin A－?＋≤.
4?882?由此可知sin A＋sin C的取值范围是?
2
2
?29?
，?. ?28?
→→
16．(2014·辽宁，17)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知BA·BC1
＝2，cos B＝，b＝3.求：(1)a和c的值；
3(2)cos(B－C)的值．
→→
解 (1)由BA·BC＝2得c·acos B＝2， 1
又cos B＝，所以ac＝6.
3
由余弦定理，得a＋c＝b＋2accos B. 又b＝3，所以a＋c＝9＋2×2＝13.
??ac＝6，解?2得a＝2，c＝3或a＝3， 2
?a＋c＝13，?
2
22
2
2
c＝2.因a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝1－cosB＝
21222
1－（）＝，
33
c22242
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
b339
因a＝b>c，所以C为锐角， 因此cos C＝1－sinC
2
＝
?42?271－??＝. ?9?9
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C 17224223＝×＋×＝. 393927考点二 解三角形及其应用
1
1．(2014·新课标全国Ⅱ，4)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝2，则AC＝( )
2A．5
B.5
C．2
D．1
111
解析 S△ABC＝AB·BCsin B＝×1×2sin B＝，
222∴sin B＝2
，若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC为直角三角形，不符合题意，2
2
2
2
因此B＝135°，由余弦定理得AC＝AB＋BC－2AB·BCcos B＝1＋2－2×1×2×?－＝5，∴AC＝5.故选B. 答案 B
2．(2011·天津，6)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝3BD，BC＝2BD，则sin C的值为( ) A.3
3
B.3 6
C.6 3
D.6 6
??2??2?
解析 设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝在△ABD中，由余弦定理，得
3a. 2
AB2＋AD2－BD2
cos A＝
2AB·AD＝
?3?2?3?22?a?＋?a?－a1?2??2?
33
2·a·a22
＝. 3
22
又∵A为△ABC的内角，∴sin A＝.
3在△ABC中，由正弦定理，得＝，
sin Asin C3a2AB226
∴sin C＝·sin A＝·＝. BC2a36答案 D
BCAB3．(2015·天津，13)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面1
积为315，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________．
41
解析 ∵cos A＝－，0＜A＜π，
4∴sin A＝12
15， 4
12
15＝ 4
S△ABC＝bcsin A＝bc×
315，∴bc＝24，又b－c＝2，
?1?2222222
∴b－2bc＋c＝4，b＋c＝52，由余弦定理得，a＝b＋c－2bccos A＝52－2×24×?－?
?4?
＝64，∴a＝8. 答案 8
π→→
4．(2014·山东，12)在△ABC中，已知AB·AC＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________．
6π→→→→
解析 根据平面向量数量积的概念得AB·AC＝|AB|·|AC|cos A，当A＝时，根据已知
61→π1→→2→
可得|AB|·|AC|＝，故△ABC的面积为|AB|·|AC|·sin＝. 32661
答案
6
5．(2013·福建，13)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD22
⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．
3
π?22?2
解析 cos∠BAD＝cos?∠BAC－?＝sin∠BAC＝.故在△ABD中，由余弦定理知：BD2?3?＝BA＋DA－2BA·AD·cos∠BAD＝3，故BD＝3. 答案
3
2
2
6．(2011·上海，6)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．
解析 ∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得2
，AC＝6千米．
sin 45°答案
6
ACsin 60°
＝
ABsin 45°
＝
7．(2015·新课标全国Ⅱ，17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． sin∠B(1)求；
sin∠C(2)若AD＝1，DC＝2
，求BD和AC的长． 2
1
解 (1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，
2
S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC. sin∠BAC1
由正弦定理可得＝＝. sin∠CAB2
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知
12
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB＋2AC＝3AD＋BD＋2DC＝6， 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.
π2
8．(2015·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b4122
－a＝c.
2(1)求tan C的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
12112222
解 (1)由b－a＝c及正弦定理得sinB－＝sinC.
222所以－cos 2B＝sinC. π3
又由A＝，即B＋C＝π，得
44－cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C， 解得tan C＝2.
(2)由tan C＝2，C∈(0，π)得 255
sin C＝，cos C＝，
55又因为sin B＝sin(A＋C)＝sin?310
所以sin B＝，
10
2
2
2
2
2
2
?π＋C?，
??4?