第五节 解三角形
考点一 正弦、余弦定理的应用
1．(2013·辽宁，6)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若
asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝( )
A.π 6
B.π 3
2π C. 3
D.5π 6
12
1
解析 根据正弦定理得，sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，即
2
111π
sin Acos C＋sin Ccos A＝，所以sin(A＋C)＝，即sin B＝，因为a＞b，∴B＝.
2226选A. 答案 A
2．(2013·湖南，3)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝3b，则角A等于( ) π
A. 12解析 由答案 D
π
3．(2013·天津，6)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝( )
4A.10 10
B.
10 5
C.310
10
D.5 5
B.π 6
，得sin A＝
C.π 4
D.π 3
asin Asin B＝b3π，又因为△ABC为锐角三角形，所以A＝. 23
π2222
解析 由余弦定理得AC＝AB＋BC－2AB·BC·cos＝2＋9－2×2×3×＝5，∴AC422
3×2310ACBCBCsin B＝5，由正弦定理＝，得sin A＝＝＝. sin Bsin AAC105答案 C
4．(2012·上海，16)在△ABC中，若sinA＋sinB＜sinC，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
2
2
2
a2＋b2－c2
解析 ∵sinA＋sinB＜sinC，∴a＋b＜c.则cos C＝＜0，∴C为钝角．
2ab2
2
2
2
2
2
答案 C
5．(2011·重庆，6)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)－c＝4，且C＝60°，则ab的值为( ) 4A. 3
2
22
B．8－43
2
2
2
2
C．1
2D. 3
解析 ∵(a＋b)－c＝4，∴a＋b－c＝4－2ab.又∵C＝60°，由余弦定理有：
a2＋b2－c2222
cos 60°＝，即a＋b－c＝ab.
2ab4
∴4－2ab＝ab，则ab＝.
3答案 A
6．(2015·福建，12)若锐角△ABC的面积为103，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________． 13π
解析 S＝AB·AC·sin A，∴sin A＝，在锐角三角形中A＝，由余弦定理得BC＝
223
AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝7.
答案 7
1
7．(2015·广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝，
2
C＝，则b＝________．
1π5πππ
解析 因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝
266662πab3bπ－B－C＝.又a＝3，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.
3sin Asin B2ππ
sin sin36答案 1
sin 2A8．(2015·北京，12)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________．
sin C解析 由余弦定理：
π6
b2＋c2－a225＋36－163
cos A＝＝＝，
2bc2×5×64
∴sin A＝
7， 4
a2＋b2－c216＋25－361
cos C＝＝＝，
2ab2×4×58
37
∴sin C＝，
8372××44sin 2A∴＝＝1. sin C37
8
答案 1
9．(2015·重庆，13)在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分线AD＝3，则AC＝________．
ABAD232解析 由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝，
sin∠ADBsin Bsin∠ADBsin 120°2
∠ADB＝45°，从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝2ABcos 30°＝6. 答案
6
1
10．(2014·天津，12)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，
42sin B＝3sin C，则cos A的值为________．
1
解析 由已知及正弦定理，得2b＝3c，因为b－c＝a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，
4
b2＋c2－a21
所以cos A＝＝－. 2bc4
1
答案 － 4
11．(2014·江苏，14)若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________．
解析 由正弦定理可得a＋2b＝2c，又cos C＝
2
2
a＋b－c＝2ab222
a2＋b2－（a＋2b）2
2ab＝
14
3a＋2b－22ab26ab－22ab6－2
≥＝，当且仅当3a＝2b时取等号，所以cos C8ab8ab4的最小值是答案
6－2
. 4
6－2
4
12．(2014·新课标全国Ⅰ，16)已知a，b，c，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________． 解析 因为a＝2，所以(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化为(a＋b)(sin A－sin
B)＝(c－b)sin C，由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦
22
b2＋c2－a2bc1π1b＋c－4
定理可得cos A＝＝＝，又0 2bc2bc2322bc2bc－411 ，所以bc≤4，当且仅当b＝c时取等号，由三角形面积公式知S△ABC＝bcsin A＝2bc22 bc· 33 ＝bc≤3，故△ABC面积的最大值为3. 243 答案 3π 13．(2015·安徽，16)在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD， 4求AD的长． 解 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 所以a＝310. 又由正弦定理，得sin B＝ 3π ＝18＋36－(－36)＝90， 4 bsin∠BAC310 ＝＝， a31010 1310 1－＝. 1010 π2由题设知0 AB·sin B6sin B3 在△ABD中，由正弦定理，得AD＝＝＝＝10. sin（π－2B）2sin Bcos Bcos B14．(2015·江苏，15)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°. (1)求BC的长； (2)求sin 2C的值． 1222 解 (1)由余弦定理知，BC＝AB＋AC－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC2＝7. (2)由正弦定理知，＝， sin Csin AABBCAB2sin 60°21 所以sin C＝·sin A＝＝.因为AB＜BC，所以C为锐角， BC77 则cos C＝1－sinC＝ 2 327 1－＝. 77 212743 ×＝. 777 因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2× 15．(2015·湖南17)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角． π (1)证明：B－A＝； 2 (2)求sin A＋sin C的取值范围． sin Aasin A(1)证明 由a＝btan A及正弦定理，得＝＝， cos Absin B所以sin B＝cos A， ?π?即sin B＝sin?＋A?. ?2?