两式相除得tan=， tan（α+β）= =点评： 数学课本中常见的三角函数恒等式的变换，既是重点，又是难点．其主要难于三角公式多，难记忆，角度变化、函数名称变化，运算符号复杂、难掌握，解题时抓住题目本质，熟记公式，才不会出错． 23．（10分）如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．

考点： 专题： 分析： 解答：

平面与平面之间的位置关系． 计算题． 欲证BD⊥DE，BD⊥DC，先证BD⊥面SAC，从而得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用Rt△SAC与Rt△EDC相似求出∠EDC即可． 解：由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE． 又已知SC⊥DE，BE∩DE=E， ∴SC⊥面BDE， ∴SC⊥BD． 又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上， ∴SA⊥BD． 而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC． ∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC， ∴BD⊥DE，BD⊥DC． ∴∠EDC是所求的二面角的平面角． ∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC． 设SA=a，则AB=a，BC=SB=a ∵AB⊥BC，∴AC=，在Rt△SAC中tan∠ACS= ∴∠ACS=30°． 又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．

点评： 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 24．（11分）设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a． 考点： 复数的基本概念；复数相等的充要条件． 专题： 压轴题；分类讨论． 分析： 由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．当z是实数时，本题是一个关于z的一元二次方程组，解方程组即可；当z是一个纯虚数时，按照实数方程求解得到z的虚部，写出纯虚数即可． 解答： 解：设|z|=r．若a＜0，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r2=2r﹣a． 由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论． 解得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）i． 若a≥0，对r作如下讨论： （1）若r≤a，则z2=a﹣2|z|≥0，于是z为实数． 解方程r2=a﹣2r，得r=故z=±（）． （r=＜0，不合，舍去）． （2）若r＞a，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数． 解方程r2=2r﹣a，得r=故z=±（）i（a≤1）． 或r=（a≤1）． 综上所述，原方程的解的情况如下： 当a＜0时，解为：z=±（当0≤a≤1时，解为：z=±（当a＞1时，解为：z=±（点评： 25．（12分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=

，已知点P（0

）到这个椭

）i； ），z=±（）． ）i； 本题还可以令z=x+yi（x、y∈R）代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解． 圆上的点最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于 考点： 椭圆的应用．

的点的坐标．

专题： 分析： 计算题；压轴题． 由题设条件取椭圆的参数方程，其中0≤θ＜2π，根据已知条件和椭圆的性质能够推的点的坐标． 出b=1，a=2．从而求出这个椭圆的方程和椭圆上到点P的距离等于解答： 解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是由可得，其中0≤θ＜2π， ，即a=2b． 设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则 ====如果由此得因此必有，即 ． ，则当sinθ=﹣1时，d2有最大值，由题设得，与成立，于是当矛盾． 时，d2有最大值，由题设得， ， 由此可得b=1，a=2． ∴椭圆的方程是得， 椭圆上的点和到点P的距离都是． ，所求椭圆的参数方程是，由可点评： 本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意参数方程的合理运用． 26．（12分）f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．

（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围； （Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立． 考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

专题： 分析： 计算题；压轴题． （Ⅰ）、f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+nxa＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，即，然后由函数的单调性求实解答： 数a的取值范围． （Ⅱ）、欲证如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立，只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0即可得证． 解：（Ⅰ）f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+nxa＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2， 即∵∴， 上都是增函数， 在（﹣∞，1]上也是增函数， 从而它在x=1时取得最大值． 所以∵故a的取值范围是{a|a＞﹣}． 等价于， ， 点评：

（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2 ＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0． ∵（a1+a2+…+an2）2=（a12+a22+…an2）+2（a1a2+a2a3+…+an﹣1an） ≤（a12+a22+…an2）+[（a12+a22）+…+（a12+an2）]+[（a22+a32） +…+（a22+an2）]+…+[（an﹣22+an﹣12）+（an﹣22+an2）]+（an﹣12+an2） =n（a12+a22+…+an2）． 于是（a1+a2+…+an）2≤n（a12+a22+…+an2）当a1=a2=…=an时成立． 利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2x， 所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]，a∈（0，1]， 当0＜a＜1，x≠0时，因a2＜a， 所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]， 即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0． 本题是比较难的对数函数的综合题，在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用，并且细心运算，避免不必要的错误．