1990年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分） 1．（4分）方程 A ． x= 2．（4分）把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转 A ． B． i 3．（4分）（2009?烟台二模）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（ ） A ． B． C． D． 4．（4分）方程sin2x=sinx在区间（0，2π）内的解的个数是（ ） A ．1 B．2 C．3 D．4 5．（4分）已知如图是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜

）的图象，那么（ ）

C． 所得到的向量对应的复数是（ ） D． =的解是（ ） B． x= C．x= D．x =9 A ． ?= ，φ= = B．?，φ=﹣C ?=2，φ=． =2，φ=﹣ D．? 6．（4分）函数 A ．{﹣2，4} 的值域是（ ）

B．{ ﹣2，0，4} C．{﹣2，0，2，D． { ﹣4，﹣2，0，4} 4} 7．（4分）如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（ ） A ． B． ，b=﹣6 C．a=3，b=﹣2 D． a =3，b=6 a=，b=6 a= 8．（4分）极坐标方程4sinθ=5ρ表示的曲线是（ ） A ．圆 B．椭 圆 C．双曲线的一支 D．抛 物线 9．（4分）设全集I={（x，y）|x，y∈R}，集合M={（x，y）|等于（ ）

=1}，N=（x，y）|y≠x+1．那么

A ． B．{ （2，3）} C．（2，3） D．{ （x，y）|y=x+1} 10．（4分）（2010?建德市模拟）若实数x、y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值为（ ） A ． B． C． D． 11．（4分）如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）

A ．90° B．6 0° C．45° D．3 0° 12．（4分）已知h＞0．设命题甲为：两个实数a，b满足|a﹣b|＜2h；命题乙为：两个实数a，b满足|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h．那么（ ） A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C ．甲是乙的充分条件 D ．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 13．（4分）A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（ ） A ．24种 B．6 0种 C．90种 D．1 20种 14．（4分）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ） A ．70个 B．6 4个 C．58个 D．5 2个 15．（4分）设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C．又设图象C'与C关于原点对称，那么C'所对应的函数是（ ） A ．y=﹣arctg（xB． y =arctg（x﹣C．y=﹣arctg D．y =arctg（x+2） ﹣2） 2） （x+2） 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 16．（5分）双曲线

的准线方程是 _________ ．

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17．（5分）（x﹣1）﹣（x﹣1）+（x﹣1）﹣（x﹣1）+（x﹣1）的展开式中，x2的系数等于 _________ ． 18．（5分）（2011?上海模拟）已知{an}是公差不为零的等差数列，如果sn是{an}的前n项的和，那么

等于 _________ ．

19．（5分）函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 _________ ． 20．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2= _________ ．

三、解答题（共6小题，满分65分） 21．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

22．（10分）已知sina+sinB=，cosa+cosB=，求tg（a+B）的值．

23．（10分）如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．

24．（11分）设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a．

25．（12分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=圆上的点最远距离是

26．（12分）f（x）=lg

，已知点P（0

）到这个椭

．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．

，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．

（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围； （Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．

1990年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分） 1．（4分）方程 A ． x=

=的解是（ ） B． x= C．x= D．x =9

考点： 分析： 解答： 对数的运算性质；指数式与对数式的互化． 根据指数式与对数式的互化可知，解：∵∴∴ ?，进而得到答案． 点评： 故选A． 本题主要考查指数式与对数式的相互转化． 所得到的向量对应的复数是（ ） D． 2．（4分）把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转 A ． B． i 考点： 分析： 解答： 复数代数形式的混合运算． 把复数1+i乘以cos（﹣）+isin（﹣C． ），化简为代数形式即可． 所得到的 =， 解：复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转向量：（1+i）[cos（﹣故选D． ）+isin（﹣）]=（1+i）点评： 复数旋转，实际上复数乘以一个模为1的辅角为﹣基础题． 复数三角形式，注意旋转方向，本题是 3．（4分）（2009?烟台二模）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（ ） A ． B． C． D． 考点： 专题： 分析： 解答： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 计算题． 设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项． 解：设圆柱高为h，则底面半径为． 由题意知，S=πh2， ∴h=， ． ∴V=π（）2?h=点评： 4．（4分）方程sin2x=sinx在区间（0，2π）内的解的个数是（ ）

故选D． 本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型．