题组层级快练(四十四)

1．已知a，b∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是( ) A．a2＋b2 C．2ab 答案 D

解析 只需比较a2＋b2与a＋b.由于a，b∈(0，1)，∴a2

A．y＝x＋

xC．y＝4ex＋e答案 C

解析 注意基本不等式等号成立的条件是“a＝b”，同时考虑函数的定义域，A中x的定义4

域为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；B中若sinx＝取到最小值4，则sin2x＝4，

sinx显然不成立．D中没有最小值．故选C. 3．设0

a＋b

2

a＋b

B．a

2a＋b

D. ab

2

－x

B．2ab D．a＋b

B．y＝sinx＋

4

(0

D．y＝log3x＋logx3(0

a＋b

C．a

2答案 B

a＋b

解析 方法一(特值法)：代入a＝1，b＝2，则有0

2a＋b

方法二(直接法)：我们知道算术平均数与几何平均数ab的大小关系，其余各式作差(作

2商)比较即可，答案为B.

4．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( ) A．[0，2] C．[－2，＋∞) 答案 D

11＋＋＋

解析 ∵2x＋2y≥22x·2y＝22xy(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴2xy≤，∴2xy≤，

24得x＋y≤－2，故选D. 5．若x，y是正数，则(x＋

121

)＋(y＋)2的最小值是( ) 2y2x

B．[－2，0] D．(－∞，－2]

A．3 C．4 答案 C

x1y1

解析 原式＝x2＋＋2＋y2＋＋2≥4.

y4yx4x当且仅当x＝y＝1

时取“＝”号． 2

7B. 29D. 2

1

6．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则的最小值为( )

ab1A. 41C. 2答案 C

11

解析 ∵4＝2a＋b≥22ab，∴ab≤2，≥，当且仅当a＝1，b＝2时取等号．

ab211

7．若x<0，则函数y＝x2＋2－x－的最小值是( )

xx9

A．－

4C．2 答案 D

11

解析 y＝x2＋2－x－≥2xx

1x2·2＋2

x

1（－x）（－）＝4，当且仅当x＝－1时取等号．

x

B．0 D．4 B．4 D．2

12

8．(2015·湖南，文)若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为( )

abA.2 C．22 答案 C

12b＋2a

解析 方法一：由已知得＋＝＝ab，且a>0，b>0，∴abab＝b＋2a≥22ab，∴

ababab≥22.

12

方法二：由题设易知a>0，b>0，∴ab＝＋≥2

ab“＝”号，选C.

x2＋2

9．(2017·金山模拟)函数y＝(x>1)的最小值是( )

x－1A．23＋2

B．23－2

B．2 D．4

2，即ab≥22，当且仅当b＝2a时取ab

C．23 答案 A

解析 ∵x>1，∴x－1>0.

D．2

x2＋2x2－2x＋2x＋2x2－2x＋1＋2（x－1）＋3∴y＝＝＝

x－1x－1x－1（x－1）2＋2（x－1）＋33＝＝x－1＋＋2≥2x－1x－13

当且仅当x－1＝，即x＝1＋3时，取等号．

x－1

1a

10．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )

xyA．2 C．6 答案 B

1axy

解析 (x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥1＋a＋2a＝(a＋1)2，

xyyxxy

当且仅当a·＝，即ax2＝y2时“＝”成立．

yx1a

∴(x＋y)(＋)的最小值为(a＋1)2≥9.

xy∴a≥4.

11．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是( ) A.3 C.5 答案 A

解析 方法一：设x＝sinα，y＝cosα，m＝3sinβ，n＝3cosβ，其中α，β∈R. ∴mx＋ny＝3sinβsinα＋3cosβcosα＝3cos(α－β)．故选A.

方法二：由已知(x2＋y2)·(m2＋n2)＝3，即m2x2＋n2y2＋n2x2＋m2y2＝3，∴m2x2＋n2y2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny)2≤3，∴mx＋ny≤3.

y2

12．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为( )

xzA．3 C．9 答案 A

1119

13．(2017·四川成都外国语学校)若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为( )

aba－1b－1A．16

B．9

3（x－1）（）＋2＝23＋2.

x－1

B．4 D．8

B．2 D.10 2

B．6 D．12

C．6 答案 C

D．1

1119

解析 方法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以＋≥

aba－1b－12

19×＝2×3＝6. a－1b－1

b－1＋9a－911191

方法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)(＋

abaa－1b－1ab－a－b＋11

)－10≥16－10＝6. b

111199

方法三：因为＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥29＝2×3＝6.

abb－1a－1b－1b－14

14．(1)当x>1时，x＋的最小值为________；

x－14

(2)当x≥4时，x＋的最小值为________．

x－116

答案 (1)5 (2)

3

解析 (1)∵x>1，∴x－1>0.

44

∴x＋＝x－1＋＋1≥24＋1＝5.

x－1x－1(当且仅当x－1＝

4

.即x＝3时“＝”号成立) x－1

4

∴x＋的最小值为5.

x－1(2)∵x≥4，∴x－1≥3.

4

∵函数y＝x＋在[3，＋∞)上为增函数，

x416

∴当x－1＝3时，y＝(x－1)＋＋1有最小值.

3x－1

1

15．若a>0，b>0，a＋b＝1，则ab＋的最小值为________．

ab答案

17 4

a＋b21

解析 ab≤()＝，

241

当且仅当a＝b＝时取等号．

211

y＝x＋在x∈(0，]上为减函数．

x4