(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)证明：任设x1

x1x1＋2

－

x2x2＋2

＝

.

?x1＋2??x2＋2?

∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

－＝. x1－ax2－a?x1－a??x2－a?x1x2a?x2－x1?

∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]．

1

12．已知函数f(x)＝ax＋a(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．

1?1?1??a－解：f(x)＝a?x＋a，当a>1时，a－a>0，此时f(x)在[0,1]上为?11

增函数，∴g(a)＝f(0)＝a；当0

??a，0

∴g(a)＝?1

??a，a≥1，

∴g(a)在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上

1

为减函数，又a＝1时，有a＝a＝1，

∴当a＝1时，g(a)取最大值1.

13．(2019·湖北八校联考)已知函数f(x)＝

2?lnx?＋alnx＋b，x>0，?

?x1

?e＋2，x≤0，

4

若f(e)＝f(1)，f(e)＝3f(0)，则函数f(x)

2

13的值域为(2，2]∪[2，＋∞)．

?4＋2a＋b＝b，

解析：由题意可得?

?1＋a＋b＝2，

?a＝－2，解得?

?b＝3，

∴当x>0时，f(x)＝(lnx)2－2lnx＋3＝(lnx－1)2＋2≥2；

111313

当x≤0时，2

?x1?

14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f?x?＝f(x1)－

?2?

f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.

(1)求f(1)的值；

(2)证明：f(x)为单调递减函数；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值． 解：(1)令x1＝x2>0，

代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0.故f(1)＝0.

x1(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则x>1，由于当x>1

2

时，f(x)<0.

?x1?

所以f?x?<0，即f(x1)－f(x2)<0.

?2?

因此f(x1)

(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

?x1??9?

??由fx＝f(x1)－f(x2)得，f?3?＝f(9)－f(3)． ?2???

而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.

尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．(2019·河南郑州一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2e)＝－f(x)(其中e＝2.718 2…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令aln2ln3ln5

＝2，b＝3，c＝5，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系(用不等号连接)为( A )

A．f(b)>f(a)>f(c) C．f(a)>f(b)>f(c)

B．f(b)>f(c)>f(a) D．f(a)>f(c)>f(b)

解析：∵f(x)是R上的奇函数，满足f(x＋2e)＝－f(x)，∴f(x＋2e)＝f(－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝e对称，∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数，∴f(x)在区间[0，e]上为增函数，又易知0

16．(2019·湖南湘东五校联考)已知函数f(x)＝

??|x＋1|，－7≤x≤0，?g(x)＝x2－2x，设a为实数，若存在实数m，－2

?lnx，e≤x≤e，?

使f(m)－2g(a)＝0，则实数a的取值范围为[－1,3]．

解析：当－7≤x≤0时，f(x)＝|x＋1|∈[0,6]，当e－2≤x≤e时，f(x)＝lnx单调递增，得f(x)∈[－2,1]，综上，f(x)∈[－2,6]．若存在实数m，使f(m)－2g(a)＝0，则有－2≤2g(a)≤6，即－1≤a2－2a≤3?－

1≤a≤3.