课时作业5 函数的单调性与最值
一、选择题
1．(2019·潍坊市统一考试)下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( B )
1A．y＝x C．y＝2x
B．y＝－x2＋1 D．y＝log2|x|
解析：因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A，C，又y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.
2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为( B )
A．(－∞，1] C．(－∞，－1]
B．[3，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
1?1?x2＋1
3．函数y＝?2? 的值域为( C )
??A．(－∞，1)
?1?B.?2，1? ??
?1?C.?2，1? ???1?
D.?2，＋∞? ??
1
?1?x2＋1122
解析：因为x≥0，所以x＋1≥1，即2∈(0,1]，故y＝?2?
??x＋1
?1?
∈?2，1?. ?
?
4．(2019·洛阳高三统考)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1)?x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
f?x1?－f?x2?(2)?x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0. x1－x2
①f(x)＝sinx；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(x2＋1＋x)．
以上四个函数中，“优美函数”的个数是( B ) A．0 C．2
B．1 D．3
解析：由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调减函数．
对于①，f(x)＝sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.
5．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则下列结论成立的是( B )
?5??7?
A．f(1) ?????7??5? C．f?2? ???? ?7??5?B．f?2? ?????5??7? D．f?2? ???? 解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)， ?5??3??7??1?13????????所以f2＝f2，f2＝f2.又0<2<1<2<2，f(x)在[0,2]上单调递增，所?????????1??3??7??5? 以f?2? ???????? 2 019x＋1＋2 0176．已知a>0，设函数f(x)＝(x∈[－a，a])的最大 2 019x＋1值为M，最小值为N，那么M＋N＝( D ) A．2 017 C．4 032 B．2 019 D．4 036 2 019x＋1＋2 0172 解析：由题意得f(x)＝＝2 019－.∵y＝2 xx 2 019＋12 019＋12 019x＋1在[－a，a]上是单调递增的，∴f(x)＝2 019－在[－a，x 2 019＋1a]上是单调递增的，∴M＝f(a)，N＝f(－a)，∴M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4 03822－－＝4 036. aa 2 019＋12 019－＋1 二、填空题 7．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)． ?? 解析：由已知可得?a＋3>0， ??a－a>a＋3， 2 a2－a>0， 解得－3 实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)． 8．(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sinx(答案不唯一)． 解析：这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，且函数f(x)在[0,2]上不是增函数即可．如f(x)＝sinx，答案不唯一． 9．若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0,1)上单调递增，则实数a的1取值范围为a≥－2. 解析：若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0,1)上单调递增，则函数g(x)＝ax2＋x在(0,1)上单调递增且g(x)>0恒成立．当a＝0时，g(x)＝x在(0,1)上单调递增且g(x)>0，符合题意；当a>0时，g(x)图象的对称轴1 为x＝－2a<0，且有g(x)>0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，符合题意；1 当a<0时，需满足g(x)图象的对称轴x＝－2a≥1，且有g(x)>0，解得a≥－ 1112，则－2≤a<0.综上，a≥－2. 10．若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则a1函数g(x)＝bx＋x，x∈[－4，－1]的值域为[－2，－2]． 解析：由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f(x)＝2x＋b，其定义域为[－2,2]，所以f(0)＝0，所以b2 ＝0，所以g(x)＝x，易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－11)，g(－4)]，即[－2，－2]． 三、解答题 x 11．已知f(x)＝(x≠a)． x－a (1)若a＝－2，试证明：f(x)在(－∞，－2)内单调递增；