因此运动的总时间
t＝t1＋t2＋t3＝?8πd＋
1
答案：(1)
2mU??33＋32＋23h?
?
6?
m。 2qUdq (2)2nd(n＝1,2,3，…)
(3)?8πd＋
??
33＋32＋23
6
h?
? ?
m 2qU
计算题专项练（二） 能量与动量综合题过关练
1.如图所示，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、
B、C。B的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)。设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞过程时间极短，求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，
(1)整个系统损失的机械能； (2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能。
解析：(1)从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，对A、B与弹簧组成的系统，由动量守恒定律得
mv0＝2mv1
此时B与C发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v2，损失的机械能为ΔE，对
B、C组成的系统，由动量守恒定律和能量守恒定律得mv1＝2mv2
121
mv1＝ΔE＋×(2m)v22 2212
解得ΔE＝mv0。
16
(2)因为v2＜v1，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此速度为v3，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为Ep，由动量守恒定律和能量守恒定律得mv0＝3mv3
121
mv0－ΔE＝× (3m)v32＋Ep 22132
解得Ep＝mv0。
48
11322
答案：(1)mv0 (2)mv0
1648
1
2.如图所示，光滑的圆弧AB(质量可忽略)固定在甲车的左
4端，其半径R＝1 m。质量均为M＝3 kg的甲、乙两辆小车静止
于光滑水平面上，两车之间通过一感应开关相连(当滑块滑过感应开关时，两车自动分离)。其中甲车上表面光滑，乙车上表面与滑块P之间的动摩擦因数μ＝0.4。将质量为m＝2 kg的滑块P(可视为质点)从A处由静止释放，滑块P滑上乙车后最终未滑离乙车。求：
(1)滑块P刚滑上乙车时的速度大小； (2)滑块P在乙车上滑行的距离。
解析：(1)设滑块P刚滑上乙车时的速度为v1，此时两车的速度为v2，以滑块和甲、乙两辆小车组成系统，规定向右为正方向，根据系统水平方向动量守恒列出等式：
mv1－2Mv2＝0
对整体应用能量守恒定律有：
mgR＝mv12＋×2Mv22
解得：v1＝15 m/s，v2＝
15
m/s。 3
1212
(2)设滑块P和小车乙达到的共同速度为v，滑块P在乙车上滑行的距离为L，规定向右为正方向，对滑块P和小车乙应用动量守恒定律有：
mv1－Mv2＝(m＋M)v
对滑块P和小车乙应用能量守恒定律有：
μmgL＝mv12＋Mv22－(M＋m)v2
解得：L＝2 m。
答案：(1)15 m/s (2)2 m
3.如图所示，水平固定一个光滑长杆，有一个质量为2m的小滑块A套在细杆上可自由滑动。在水平杆上竖直固定一个挡板P，小
滑块靠在挡板的右侧处于静止状态，在小滑块的下端用长为L的细线悬挂一个质量为m的小球B，将小球拉至左端水平位置使细线处于自然长度，由静止释放，已知重力加速度为g。求：
(1)小球第一次运动到最低点时，细绳对小球的拉力大小； (2)小球运动过程中，相对最低点所能上升的最大高度； (3)小滑块运动过程中，所能获得的最大速度。
解析：(1)小球第一次摆到最低点过程中，由机械能守恒定律得
1
21212
mgL＝mv2
解得v＝2gL
在最低点，由牛顿第二定律得
12
v2
F－mg＝m
L解得F＝3mg。
(2)小球与滑块共速时，小球运动到最大高度h。取水平向右为正方向，由动量守恒定律与机械能守恒定律得
mv＝(2m＋m)v共
121
mv＝mgh＋(2m＋m)v共2 22
2
联立解得h＝L。
3
(3)小球摆回最低点，滑块获得最大速度，此时小球速度为v1，滑块速度为v2
mv＝mv1＋2mv2
12121
mv＝mv1＋×2mv22 2222
解得v2＝2gL。
3
22
答案：(1)3mg (2)L (3)2gL
33
4.(2018·安徽四校联考)如图所示，半径为R的四分之一光滑圆形固定轨道右端连接一光滑的水平面，质量为M＝3m的小球Q连接着轻质弹簧静止在水平面上，现有一质量为m的滑块P(可看成质点)从B点正上方h＝R高处由静止释放，重力加速度为g。
(1)求滑块到达圆形轨道最低点C时的速度大小和对轨道的压力； (2)求在滑块压缩弹簧的过程中，弹簧具有的最大弹性势能Epm；
(3)若滑块从B上方高H处释放，求恰好使滑块经弹簧反弹后能够回到B点时高度H的大小。
12
解析：(1)滑块P从A运动到C过程，根据机械能守恒定律得mg(h＋R)＝mvC
2又h＝R，代入解得vC＝2gR
vC2
在最低点C处，根据牛顿第二定律得：FN－mg＝m
R解得FN＝5mg
根据牛顿第三定律知滑块P对轨道的压力大小为5mg，方向竖直向下。 (2)弹簧被压缩过程中，当滑块与小球速度相等时，弹簧具有最大弹性势能， 根据动量守恒定律得mvC＝(m＋M)v
1212
根据机械能守恒定律得mvC＝Epm＋(m＋M)v
223
联立解得Epm＝mgR。
2
12
(3)设滑块P从B上方高H处释放，到达水平面速度为v0，则有mg(H＋R)＝mv0
2弹簧被压缩后再次恢复到原长时，设滑块P和小球Q的速度大小分别为v1和v2， 根据动量守恒定律得mv0＝－mv1＋Mv2 121212
根据机械能守恒定律得mv0＝mv1＋Mv2
222