u|x?0,a?0;u|bby??,22?0。
一17 一
8．求解习题十六的第7题。 9．求解习题十六的第8题．（取水平放置时的平衡位置作为纵向位移u的坐标原点．）
习题二十三
1、求解元限长传输线上的电振荡传播问题．同？
2、一半无界细杆，x＝0端的温度保持为零度，杆上的初始温度分布为K(e??x?1)．求
解杆上的温度变化情况．
3．一半无界杆，杆端x＝0有热流强度为Asin?t的热流流入，求长时间以后杆上的温
度分布u(x,t)。
4．应用泊松公式求下列定期问题：utt?a2?u?0，初始速度为零，初始位移在单位球内为1，在球外为零．
5．应用泊松公式求下列定解问题utt?a2?u?0，初始速度为零，初始位移在球内（r＜r。）为AcosGRGR?的情况与?的情况有什么不CLCL?r2r0，在球外（r>r。）为零。
6 、二维波动问题，初始速度为零，初始位移在圆内（?＜1）为1，在圆外（?＞1）为零.试求u|??0。
7．求解三维无界空间的输运问题：ut?a2?u?0,u|t?0??(x,y,z).
8．一半无界细杆，x=0端的温度为At，杆上的初始温度为零，求解杆上的温度变化情况．
9、在一维半无界空间中求解ut?auxx?0,u|x?0?f(t),u|t?0??(x). 10．在一维半无界空间中求解ut?auxx?0,ux|x?0?g(t),u|t?0?0.
习题二十四
22
1．在x=0的邻域上求解y''?xy?0．
2．在x＝0的邻域上求解(1?x2)y''?6xy'?6y?0。
3．在x=0的邻域上求解厄密方程y''?2xy'?(??1)y?0,?取什么数值时可使级数退化为多项式？这些多项式乘以适当的系数使最高幂次项为(2x)n形式，这就是厄密多项式，记作
Hn(x)．写出H0(x)—H4(x)．
4．在x=0的邻域上求解雅可俾方程
（1-x2）y''?[????(????2)x]y'??(??????1)y?0
一18 一
习题二十五 1、在x=0的邻域上求解x2y''?2xy'?l(l?1)y?0 2
．
在
x=1
的
邻
域
上
求
解
(l?0,1,2,???).．
ll
阶
勒
让
德
方
程
(?1x2y')?'x2?y'l?(l1?)y''' 0的有限解．?l(?0?,?1,2,) 3．在x=0的邻域上求解xy?xy?y?0.．
4、在x=0的邻域上求拉盖尔方程xy?(1?x)y??y?0的有限解．?取什么数值时可使级数退化为多项式？这些多项式乘以适当的系数使最高幂次项为(?x)形式，这就是拉盖尔多项式，记作Ln(x)．写出前几个Ln(x)． 5、 在x=0的邻域上求y?2?y?[使级数退化为多项式？
6．在x=0的邻域上求解v阶虚宗量贝塞耳方程xy?xy?(x?v)y?0.对s1?1
?11111x取c0?v，推出Iv??，()2k?v;对s2??v取c'0??v2?(v?1)2?(?v?1)k?0k!?(k?v?1)2''''''n2zl(l?1)?]y?0的有限解。?取什么数值时可2xx2'''22推出I?v??k!?(k?v?1)(2)k?0?1x2k?v.I?v(x)有无实的零点，并比较J?v(x)和I?v(x)．
7．在x=0的邻域上求解高斯方程（超几何级数微分方程）：
x(x?1)y''?{(1????)x?r}y'???y?0.
8．在x=0的的邻域上求解汇合超几何级数微分方程： xy''?(r?x)y'?ay?0.
习题二十六
'' 1．证明(2l?1)Pl(x)?Pl?1(x)?Pl?1(x). ．
2．证明
3．证明
P'l(?x)?(?1)l?1P'l(x).
4．利用P,P0(x)?11(x)?x,由速推公式求出P2(x),P3(x).
一19 一
5．计算
?2P(x)dx????1l?01(l?0). (l?0)2l?11nxPl(x)dx. ??12
6．以勒让德多项式为基本函数，把下列定义在（－1，1）区间上的函数f(x)展成傅里叶一勒让德级数．
（1）f(x)?x; （2）f(x)?x;
42（3）x?3x?2; （4）f(x)?|x|;
34?x（5）f(x)???0(0?x?1),
(?1?x?0). 7．在匀强电场E0中置入一半径为a的导体球．若导体球原先不带电荷，研究导体球附近的静电场．
8．上题中若导体球原先带有电量为4??0Q的电荷，研究导体球内、外的静电场． 9．第8题中若导体球接地，研究导体球附近的静电场．
10．在点电荷4??0q的电场中放置一半径为a带有4??0Q电量的导体球，球心与点电荷相距d(d?a)．求解该静电场，并讨论Q=0的情况．
11．求解
??u?0,?2?u|r?a?cos?(r?a,0???2?,0????).
12．用一层绝缘材料把半径为a的导体球壳分隔为两个半球壳，使上、下两半球壳各充电到电势u1和u2。试研究球内外的电势分布．
13 一半径为a的半球的球面温度保持为u0，半球的底面保持零度时，求半球内的稳定温度分布．
14．上题的半球的底面为绝热时，求半球内的稳定温度分布． 15．求解习题十六第6题．设初位移为?(x)，初速度为?(x)．
16．半径为a表面熏黑的均匀球，在温度为零度的空气中受阳光照射，设阳光的热流强度为q。，求球内的稳定温度分布情况． 17．半径为a的圆形铁环，充有4??0q的单位电荷，求铁环周围的电势分布．（提示：圆环轴上距环心r的电势为qa?r22.）
一20 一
习题二十七
1，用球函数把下列函数展开： （1）sin2(3co?sni)scos,?（1?cos2?, （2）??
（3）(1?|cos?|)(1?cos2?).． 2．在半径为a的球外求解
?u?0,?? ?u|r?a?f(?,?),
?u|?0.r???