数学物理方法习题总稿-csy - 图文 下载本文

u|x?0,a?0;u|bby??,22?0。

一17 一

8.求解习题十六的第7题。 9.求解习题十六的第8题.(取水平放置时的平衡位置作为纵向位移u的坐标原点.)

习题二十三

1、求解元限长传输线上的电振荡传播问题.同?

2、一半无界细杆,x=0端的温度保持为零度,杆上的初始温度分布为K(e??x?1).求

解杆上的温度变化情况.

3.一半无界杆,杆端x=0有热流强度为Asin?t的热流流入,求长时间以后杆上的温

度分布u(x,t)。

4.应用泊松公式求下列定期问题:utt?a2?u?0,初始速度为零,初始位移在单位球内为1,在球外为零.

5.应用泊松公式求下列定解问题utt?a2?u?0,初始速度为零,初始位移在球内(r<r。)为AcosGRGR?的情况与?的情况有什么不CLCL?r2r0,在球外(r>r。)为零。

6 、二维波动问题,初始速度为零,初始位移在圆内(?<1)为1,在圆外(?>1)为零.试求u|??0。

7.求解三维无界空间的输运问题:ut?a2?u?0,u|t?0??(x,y,z).

8.一半无界细杆,x=0端的温度为At,杆上的初始温度为零,求解杆上的温度变化情况.

9、在一维半无界空间中求解ut?auxx?0,u|x?0?f(t),u|t?0??(x). 10.在一维半无界空间中求解ut?auxx?0,ux|x?0?g(t),u|t?0?0.

习题二十四

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1.在x=0的邻域上求解y''?xy?0.

2.在x=0的邻域上求解(1?x2)y''?6xy'?6y?0。

3.在x=0的邻域上求解厄密方程y''?2xy'?(??1)y?0,?取什么数值时可使级数退化为多项式?这些多项式乘以适当的系数使最高幂次项为(2x)n形式,这就是厄密多项式,记作

Hn(x).写出H0(x)—H4(x).

4.在x=0的邻域上求解雅可俾方程

(1-x2)y''?[????(????2)x]y'??(??????1)y?0

一18 一

习题二十五 1、在x=0的邻域上求解x2y''?2xy'?l(l?1)y?0 2

x=1

(l?0,1,2,???)..

ll

(?1x2y')?'x2?y'l?(l1?)y''' 0的有限解.?l(?0?,?1,2,) 3.在x=0的邻域上求解xy?xy?y?0..

4、在x=0的邻域上求拉盖尔方程xy?(1?x)y??y?0的有限解.?取什么数值时可使级数退化为多项式?这些多项式乘以适当的系数使最高幂次项为(?x)形式,这就是拉盖尔多项式,记作Ln(x).写出前几个Ln(x). 5、 在x=0的邻域上求y?2?y?[使级数退化为多项式?

6.在x=0的邻域上求解v阶虚宗量贝塞耳方程xy?xy?(x?v)y?0.对s1?1

?11111x取c0?v,推出Iv??,()2k?v;对s2??v取c'0??v2?(v?1)2?(?v?1)k?0k!?(k?v?1)2''''''n2zl(l?1)?]y?0的有限解。?取什么数值时可2xx2'''22推出I?v??k!?(k?v?1)(2)k?0?1x2k?v.I?v(x)有无实的零点,并比较J?v(x)和I?v(x).

7.在x=0的邻域上求解高斯方程(超几何级数微分方程):

x(x?1)y''?{(1????)x?r}y'???y?0.

8.在x=0的的邻域上求解汇合超几何级数微分方程: xy''?(r?x)y'?ay?0.

习题二十六

'' 1.证明(2l?1)Pl(x)?Pl?1(x)?Pl?1(x). .

2.证明

3.证明

P'l(?x)?(?1)l?1P'l(x).

4.利用P,P0(x)?11(x)?x,由速推公式求出P2(x),P3(x).

一19 一

5.计算

?2P(x)dx????1l?01(l?0). (l?0)2l?11nxPl(x)dx. ??12

6.以勒让德多项式为基本函数,把下列定义在(-1,1)区间上的函数f(x)展成傅里叶一勒让德级数.

(1)f(x)?x; (2)f(x)?x;

42(3)x?3x?2; (4)f(x)?|x|;

34?x(5)f(x)???0(0?x?1),

(?1?x?0). 7.在匀强电场E0中置入一半径为a的导体球.若导体球原先不带电荷,研究导体球附近的静电场.

8.上题中若导体球原先带有电量为4??0Q的电荷,研究导体球内、外的静电场. 9.第8题中若导体球接地,研究导体球附近的静电场.

10.在点电荷4??0q的电场中放置一半径为a带有4??0Q电量的导体球,球心与点电荷相距d(d?a).求解该静电场,并讨论Q=0的情况.

11.求解

??u?0,?2?u|r?a?cos?(r?a,0???2?,0????).

12.用一层绝缘材料把半径为a的导体球壳分隔为两个半球壳,使上、下两半球壳各充电到电势u1和u2。试研究球内外的电势分布.

13 一半径为a的半球的球面温度保持为u0,半球的底面保持零度时,求半球内的稳定温度分布.

14.上题的半球的底面为绝热时,求半球内的稳定温度分布. 15.求解习题十六第6题.设初位移为?(x),初速度为?(x).

16.半径为a表面熏黑的均匀球,在温度为零度的空气中受阳光照射,设阳光的热流强度为q。,求球内的稳定温度分布情况. 17.半径为a的圆形铁环,充有4??0q的单位电荷,求铁环周围的电势分布.(提示:圆环轴上距环心r的电势为qa?r22.)

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习题二十七

1,用球函数把下列函数展开: (1)sin2(3co?sni)scos,?(1?cos2?, (2)??

(3)(1?|cos?|)(1?cos2?).. 2.在半径为a的球外求解

?u?0,?? ?u|r?a?f(?,?),

?u|?0.r???