6、反射性元素E1蜕变为元素E2，元素E2又蜕变为元素E3，元素E3又再蜕变为元素E4，元素E4不再蜕变。元素E1、E2 、E3、E4的原子数分别为N1(t)、N 2(t) 、N 3(t)、N 4(t)，其变化规律分别为N'1(t)??C1N1(t),N'2(t)?C1N1(t)?C2N2(t),N'3(t)?C2N2(t)?C3N3(t),

N'4(t)?C3N3(t)，其中C1、C2、C3、C4均为常数，设蜕变前只有元素E1，其原子数为N 0，

求N 4(t)。

7、厄密方程y''(t)?2ty'(t)??y(t)?0里的?应取怎样的数值才有可能使方程的解退化为多项式？

8、拉盖尔方程ty''(t)?(1?t)y'(t)??y(t)?0里的?应取怎样的数值才有可能使方程的解退化为多项式？

9、用拉普拉斯变换求下列积分： （1）I(t)??（3）I(t)??0?sintxcostxdx;I(t)?dx; （2）22?0x?ax??02?sintxsintxdx. dx; （4）I(t)??220xx(x?1)10、设f(t)是以T为周期的周期函数，且f(t)在一个周期上分段连续，试证明f(p)?

11?e?pT

?T0f(t)e?pTdt，并用此公式验证sin?t的拉氏换式为

?p??22。

习题十一

把下列周期函数f(x)展成傅里叶级数： 1、 在(?l,l)这个周期上，

?0f(x)???12、 在(??,?)这个周期上，

(?l,0), (0,l).???x???2 f(x)?????x??23、 在(0,T)这个周期上，f(x)?4、 (??,?)这个周期上，

(??,0),

(0,?).x。 3 f(x)????cosx?cosx(??,0),

(0,?).5、 在(??,?)这个周期上，f(x)?x2。在本题答案中令x?0，看看能得出什么结果。

一8一

6、在(??,?)这个周期上，f(x)?x?x2。由本题答案证明：

?6??1111?1??2?2????. 22k234k?1x。 2?7、在(0,?)这个周期上，f(x)?1?sin8、在(??,?)这个周期上，

??0(??,?),?2????f(x)??cosx(?,),

22???0(,?).?2?9、在(?l,l)这个周期上，f(x)?e(??0)。 10、在(?1,1)这个周期上，

?x??x(?1,0),?1?f(x)??1(0,),

2?1??1(,1).??211、在(0,l)这个周期上，f(x)?cos?xl[1?H(x?)]。 l212、在(??,?)这个周期上，f(x)?sinax13、在(??,?)这个周期上，f(x)?cosax14、在(??,?)这个周期上，f(x)?shax(a为非整数). (a为非整数). (a为非整数).

15、在(??,?)这个周期上，f(x)?chax16、在(0,l)这个周期上，

(a为非整数).

??sinx??l f(x)????sin?x?l?

习题十二

l(0,),2 l(,l).2把下列定义在有限区间上的函数f(x)分别展成一般、正弦和余弦傅里叶级数。 1、f(x)?1(0,?)

xl(0,l).

2、f(x)?a(1?) 一9一

3、f(x)?x24、f(x)?x3(0,?). (0,?).

l?x(0,),??25、f(x)??

l?l?x(,l).??26、f(x)?cosx7、f(x)?sinx8、f(x)?sin2x9、f(x)?x?x10、f(x)?ax2(0,?). (0,?). (0,?).

(0,l). (0,?)(a可为整数也可为非整数).

11、在(0,)上，f(x)?cosl2?lx;在(,l)上，f(x)?0. l2'12、函数f(x)?x,x?(0,l)，根据f(0)?0和f(l)?0的条件，把f(x)展成傅里叶级数。

习题十三

1、短形波f(x)，在(?TT,)这个周期上， 22T??0(?,?),?22????f(x)??H(?,),

22??T?0(,).?22?试把它展成复数形式的傅里叶级数。

)这个周期上，f(x)?2、锯齿波f(x)，在(0,THx，试把它展成复数形式的傅里叶级数。 T3、二元函数f(x,y)?xy定义在0?x??,0?y??上。试分别根据边界条件 （1）f(0,0)?f(?,?)?0; （2）f'(0,0)?f'(?,?)?0下

把f(x,y)展成三角形式的二重傅里叶级数。

习题十四

1、把单个锯齿脉冲f(t)展成三角形式的傅里叶积分：

一10一

(t?0),?0?f(t)??kt(0?t?T),

?0(T?t).?2、把下列脉冲f(t)展成三角形式的傅里叶积分：