g'(x?1)?1， x?1

…………2分 …………3分

由题意可得kl1?kl2，即2a?a?1，所以a?1， 所以f(x)?x2?x，f(2)?22?2?2.

（Ⅱ）当x?[1，e]时，?'(x)?lnx?1?0，

所以?(x)在[1，e]上单调递增，所以?(x)max??(e)?e，?(x)min??(1)?0， 即 ?(x)的取值范围是[0，e].

…………5分

y?f[xg(x)?t]?[xln(x?t)]2?(xlnx?t)?(xlnx)2?(2t?1)(xlnx)?t2?t，

令u?xlnx，在x?[1，e]时，u'?lnx?1?0， 所以u?xlnx在[1，e]上单调递增，0?u?e，

y?u2?(2t?1)u?t2?t图象的对称轴为u?①当

1?2t，抛物线开口向上， 211?2t?0即t?时，ymin?yu?0?t2?t，

221?2t1?2e②当时，ymin?e2?(2t?1)e?t2?t， ?e即t?22③当0?

1?2t21?2t1?2e11?2t21 )?(2t?1)?e即?t?时，ymin?y1?2t?(?t?t??.

u?2222242

…………8分

（Ⅲ）解：F(x)?g(x)?g'(x)?lnx?1， xF'(x)?11x?1?2?2?0，x?1，所以F(x)在区间(1，??)上单调递增， xxx所以当x?1时，F(x)?F(1)?0.

①当m?(0，1)时，有??mx1?(1?m)x2?mx1?(1?m)x1?x1，

??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，得??(x1，x2)，同理??(x1，x2)，

由F(x)的单调性知0?F(x1)?F(?)?F(x2)，0?F(x1)?F(?)?F(x2)， 从而F(?)?F(?)?F(x1)?F(x2)，符合题设.

②当m?0时，有??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，

??(1?m)x1?mx2?(1?m)x1?mx1?x1，

由F(x)的单调性知0?F(?)?F(x1)?F(x2)?F(?)， 所以F(?)?F(?)?F(x1)?F(x2)，与题设不符.

③当m?1时，同理可得??x1，??x2，得F(?)?F(?)?F(x1)?F(x2)，与题设不符. 综上所述，得m?(0，1). 10、（Ⅰ）因为f?(x)?

…………14分

3a?112ax2?a?1? f(1)???，12x1解得：a??.---------------------------------------------------------------------------------3分

22ax2?a?1（Ⅱ）f(x)的定义域为(0,+?), f?(x)?，

x当a≥0时，f?(x)＞0，故f(x)在(0,+?)单调增加；----------------------------5分 当a≤－1时，f?(x)＜0, 故f(x)在(0,+?)单调减少；----------------------------6分 当－1＜a＜0时，令f?(x)＝0,解得x=?a?1. 2a当x∈(0,

?a?1)时, f?(x)＞0；单调增， 2ax∈(?a?1，+?)时，f?(x)＜0, 单调减--------------------------------------------10分 2a（Ⅲ）xf?(x)?2ax2?a?1≥x2?x?1，

x2?x得：a≥2 ------------------------------------------------11分

2x?1x2?x 令g(x)?2,(x?0)

2x?1(2x?1)(2x2?1)?4x(x2?x)?2x2?2x?1? 则g?(x)?(2x2?1)2(2x2?1)2，

当0?x?当x?1?3时，g(x)单调递增， 21?3时，g(x)单调递减， 21?31?3所以，g(x)max?g(， -----------------------------------------------13分 )?24 故a≥1?3 ---------------------------------------------14分 4

11、（1）h(x)??2a?'1 x13' h(2)??4?ln2 h(2)?? x2a?1时h(x)??2x?lnx h'(x)??2?h(x)在(2,g(2))处的切线方程为3x?2y?2ln2?14?0…3分

21ax?2ax?1（2）f?(x)?ax?2a??(x?0) xx

f?(x)?0?ax2?2ax?1?0，

????4a2?4a?0?所以?x1?x2?2，所以1?a?2．

?11?x1x2??a2?2 …6分

22a?a?aa?a?a， （3）由ax?2ax?1?0，解得x1?,x2?aa∵1?a?2，∴x2?1?1?12?1?． a2而f(x)在(x2,??)上单调递增，∴f(x)在[1?2,2]上单调递增． …7分

2∴在[1?2,2]上，f(x)max?f(2)??2a?ln2．

2所以，“存在x0?[1?

…8分

2,2]，使不等式f(x0)?ln(a?1)?m(a2?1)?(a?1)?2ln2恒成立”等价于2“不等式?2a?ln2?ln(a?1)?m(a2?1)?(a?1)?2ln2恒成立”，

即，不等式ln(a?1)?ma2?a?m?ln2?1?0对任意的a（1?a?2）恒成立． …9分 令g(a)?ln(a?1)?ma2?a?m?ln2?1，则g(1)?0．

1?2ma2?2ma?a． ?g(a)??2ma?1?a?1a?1 …10分

2①当m?0时，g?(a)??2ma?2ma?a?0，g(a)在(1,2)上递减．

a?1g(a)?g(1)?0，不合题意．

?2ma(a?1?1)2m． ②当m?0时，g?(a)?a?1若1??(1?11)，记t?min(2,?1?)，则g(a)在(1,t)上递减． 2m2m

在此区间上有g(a)?g(1)?0，不合题意． ?m?0?因此有?，解得m??1， 14?1??1?2m?所以，实数m的取值范围为(??,?1]．

412、解：(Ⅰ) h(x)?f(x)?g(x) ?lnx? …14分

111?ax?b,,则h?(x)??2?a， ……1分 xxx∵h(x)?f(x)?g(x)在(0,??)上单调递增，∴对?x?0，都有

h?(x)?11?2?a?0， ……2分 xx即对?x?0，都有a?1111?2，∵?2?0，∴a?0， xxxx

故实数a的取值范围是(??,0]． ……4分 (Ⅱ) 设切点(x0,lnx0?即y?(1111)，则切线方程为y?(lnx0?)?(?2)(x?x0)， x0x0x0x011111?2)x?(?2)x0?(lnx0?)，亦即x0x0x0x0x0y?(112?2)x?(lnx0??1)， ……5分 x0x0x011122?t?0a???t?t,b?lnx??1??lnt?2t?1， …6分 令，由题意得02x0x0x0x0令a?b??(t)??lnt?t2?t?1，则??(t)???2t?1?当t?(0,1)时 ，??(t)?0，?(t)在(0,1)上单调递减； 当t?(1,??)时，??(t)?0，?(t)在(1,??)上单调递增，

∴a?b??(t)??(1)??1，故a?b的最小值为?1． ……9分 (Ⅲ)由题意知lnx1?两式相加得lnx1x2?1t(2t?1)(t?1)， ……7分

t11?ax1，lnx2??ax2， x1x2x1?x2?a(x1?x2)，两式相减得x1x2lnx2x1?x2??a(x2?x1)， ……10分 x1x1x2