??1?x?3x例3 在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换?后的图形.

1?y??y2?x2y2x2y2⑴??1； ⑵??1 ⑶y2?2x 941812【知识点】伸缩变换．

【数学思想】转化与化归的思想

??1?x?3x?x?3x?x2y2【解题过程】．⑴由伸缩变换?代入9?4?1，得到经过伸缩变换后的图1得??y?2y?y??y?2?形方程为x?2?y?2?1

22x?y?同理可得⑵式经过伸缩变换后的图形方程为??1

23⑶式经过伸缩变换后的图形方程为y?2?3x? 21?x?x????【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为?1，在代入原图形对应的方程，从而得到?y??y????变形后的图形对应的方程.

?x??2x同类训练 在平面直角坐标系中, 求方程2x?3y?0所对应的图形经过伸缩变换?后的

?y??3y图形对应的方程为 . 【知识点】坐标的伸缩变换． 【数学思想】转化与化归思想

1?x?x??x??2x?2【解题过程】由伸缩变换?2x?3y?0，得到经过伸缩变换后的图形方?得代入??y?3y?y?y?3?程为x??y??0

【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】x??y??0

●活动⑤ 强化提升、灵活应用

?x??3x22??例4 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换?Cx?9y?9，后，曲线变为曲线??y?y求曲线C的方程．

【知识点】伸缩变换逆向应用．

?x??3x2222??【解题过程】将伸缩变换?Cx?9y?9x?y?1 代入曲线得到曲线对应的方程为??y?y【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】x2?y2?1．

?2x??x?1C同类训练 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换??y?y后，曲线变为曲线?3?x?2?9y?2?1，求曲线C的方程． 【知识点】伸缩变换逆向应用．

?2x??x?12222??C【解题过程】将伸缩变换??x?9y?14x?y?1 得到曲线对应的方程为y?y代入曲线

?3?【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】4x2?y2?1． 3.课堂总结 知识梳理

（1） 坐标法解决几何问题的“三部曲”：

第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.

（2）建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:第一：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；第二：如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；第三：使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上.

?x????x(??0)P(x,y)?:（3）一般地，设是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?的作用

?y???y(??0)?下，点P(x,y)对应点P?(x?,y?)，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 重难点归纳

（1）坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法．

（2）在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩.因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示. （三）课后作业 基础型 自主突破

1．已知f1(x)=cosx,f2(x)=cosωx(ω>0),f2(x)的图象可以看作是把f1(x)的图象在其所在的坐标系中

1的横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( )

311A. B.2 C.3 D. 23【知识点】三角函数图像，伸缩变换公式．

??1?x?x,?x?3x?,【解题过程】:∵?将其代入y=cosx,得到y＇=cos3x＇,即f2(x)=cos3x. 3∴??y?y.???y??y,【思路点拨】函数y=cosωx,x∈R（其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的谨防出错． 【答案】C

1?倍（纵坐标不变）而得到.应用时

?x??3x2.曲线x2?y2?1经过φ: ? 变换后得到的新曲线的方程是（ ）.

?y??4yx?2y?2x?2y?2x?2y?222??1 B．??1 C．9x??16y??1 D．??1 A．34169916【知识点】伸缩变换公式与应用．

1?x?x???x??3x223代入到圆的方程,可得 【解题过程】曲线x?y?1经过φ: ?变换后,即 ?1?y??4y?y?y?4?x?2y?2x?2y?2??1 即所求新曲线的方程为 ??1． 916916【思路点拨】将x,y表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程. 【答案】D．

3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A.椭圆 B.比原来大的圆【知识点】伸缩变换的应用．

【解题过程】由伸缩变换的公式可知不可能得到的图形是双曲线，只能是圆或者椭圆． 【思路点拨】将伸缩变换的公式进行变形可得． 【答案】D

4. 将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是( )

C.比原来小的圆 D.双曲线

23??x'?xx'?x????32A．? B．?

?y'?3y?y'?2y??3?2??x'?y?x'?x?1C．? D．?

?y'?x?y'?y?1【知识点】伸缩变换公式与应用．

x'3?3????,x'?x,???x'??x,x2??2【解题过程】设此变换为?则?所以所求变换为?

y'22y'??y,?????,?y'?y,?y3?3??【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形得到． 【答案】B．

5．已知函数f(x)?(x?1)2?1?(x?1)2?1,则f(x)的最小值为__________． 【知识点】平面直角坐标系的应用． 【数学思想】数形结合的思想

【解题过程】f(x)可看作是平面直角坐标系下x轴上一点(x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离之和，结合图形可得，f(x)的最小值为22.