标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)． ∵|PB|＝|PC|，

∴点P在线段BC的垂直平分线上． kBC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)， ∴直线PD的方程为y－3＝又|PB|－|PA|＝4，

∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上， x2y2

双曲线方程为4－5＝1(x≥2)． 联立①②，解得P点坐标为(8,53)， 53

∴kPA＝＝3.

8－3

因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.

【思路点拨】本题的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A、B、C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解． 【答案】甲舰行进的方位角为北偏东30°.

【设计意图】从生活实例到数学问题，体会坐标法的提炼、抽象过程． ●活动② 归纳梳理、理解提升

通过实例,合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，那么利用坐标法解决问题的基本步骤是什么呢?

坐标法解决几何问题的“三部曲”：

第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.●活动③ 学以致用,理论实践

例2 已知△ABC的三边 a,b,c满足 b2?c2?5a2 , BE,CF分别为边AC,AB上的中线, 建立适当的平面直角坐标系探究BE

②

1

(x＋4)．① 3

y E C x

OA F B与CF的位置关系.

【知识点】平面直角坐标系，轨迹方程 【数学思想】数形结合 【解题过程】

解: 如图, 以△ABC的顶点A为原点O, 边AB所在的直线为x轴, 建立直角坐标系. 由已知, 点A,B,F的坐标分别为

cxyA(0,0),B(c,0)F(,0),设点C的坐标为(x,y),点E的坐标为(,).由b2?c2?5a2可得

222AC?AB?5BC

222即 x2?y2?c2?5(x?c)2?y2,整理得2x2?2y2?2c2?5cx?0

xyc因为 BE?(?c,),CF?(?x,?y)

2221所以BE?CF??(2x2?2y2?2c2?5cx)?0

4??由此,BE与CF相互垂直.

【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】BE与CF相互垂直.

同类训练 已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.

【知识点】平面直角坐标系 【数学思想】数形结合思想

【解题过程】 如右图,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(0,

3aa a),B(-,0),C(,0). 222

设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2 =x2+(y-3aa a)2+(x+)2+y2+(x-)2+y2 2222

5a23222

=3x+3y-3ay+=3x2+3(y-a)+a≥a,

462

当且仅当x=0,y=

3a时,等号成立,6

3a),是正三角形ABC的中心. 6∴所求最小值为a2,此时P点坐标为P(0,

【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，从而简化问题 【答案】所求最小值为a2,此时P点坐标为P(0,

3a),是正三角形ABC的中心 6【设计意图】通过把平面几何的问题转化为代数问题，认识坐标法思想的优势. 探究二 探究平面直角坐标系中的伸缩变换 ●活动① 温故知新、提炼概念

在三角函数图像的学习中,我们研究过下面一些问题:

你还能分析出由正弦曲线y?sinx怎样得到曲线y?sin2x吗？

在由正弦曲线y?sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的的到曲线y?sin2x.

从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的实质是什么？（讨论）

即，设P(x,y)为平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的

1??x??x得到点P?(x?,y?)，则?2 ①

??y??y1，21”的21，就2我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换.

【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫． ●活动② 温故知新、提炼概念

那么如何由正弦曲线y?sinx怎样得到曲线y?3sinx呢？

在由正弦曲线y?sinx上任取一点P(x,y)，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，就的到曲线y?3sinx.

从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍”的实质是什么？（讨论）

即，设P(x,y)为平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3

?x??x???倍，得到点P(x,y)，则? ②

?y?3y?我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.

【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫． ●活动③ 巩固理解、提炼概念

同理，由正弦曲线y?sinx怎样得到曲线y?3sin2x呢？

这个可以认为是是上述两个的“合成”，即先保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的再保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，就可得曲线y?3sin2x.

类比上述情况，即 ：设平面直角坐标系中任意一点P(x,y)经过上述变换后为点P?(x?,y?)，那

1 ③ 么?

?x??x?2???y?3y

1，2我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 一般地，设P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

?x????x(??0) ?:??y????y(??0)的作用下，点P(x,y)对应点P?(x?,y?)，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

【设计意图】通过对前面的总结，发现一般情况，从而得出伸缩变换的概念． 活动④ 巩固基础，检查反馈