1.1平面直角坐标系
一、教学目标 (一)核心素养
通过这节课学习,能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系,在数学建模过程中体会坐标法的思想. (二)学习目标
1.根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系. 2.通过实例概括坐标伸缩变换公式.
3.了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想. (三)学习重点
1.根据几何特征选择坐标系. 2.坐标法思想.
3.平面直角坐标系中的伸缩变换. (四)学习难点
1.适当直角坐标系的选择.
2.对伸缩变换中点的对应关系的理解. 二、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务
(1)读一读:阅读教材第2页至第7页,填空:
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ: 的作用下,点
P(x,y)对应到点P?(x?,y?),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.预习自测
11
(1)如何由正弦曲线y=sin x经伸缩变换得到y=2sin2x的图象( ) 11
A.将横坐标压缩为原来的2,纵坐标也压缩为原来的2 1
B.将横坐标压缩为原来的2,纵坐标伸长为原来的2倍 C.将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标也伸长为原来的2倍
1
D.将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标压缩为原来的2 【知识点】伸缩变换
【解题过程】将正弦曲线y=sin x的横坐标伸长为原来的2倍得到y?sin的图像的横坐标不变,纵坐标压缩为原来的【思路点拨】可根据三角函数的知识求解 【答案】D
(2)在平面直角坐标系中,A,B两点分别在x轴、y轴上滑动,且|AB|=4,则AB中点P的轨迹方程为________. 【知识点】点轨迹方程
【数学思想】函数与方程的思想
【解题过程】 设A(m,0),B,(0,n),则AB?m2?n2?16,再设线段AB中点P的坐标为(x,y),则x?mn ,y?,m?2x,n?2y,所以4x2?4y2?16,即AB得中点的轨迹方程为x2?y2?4.
22211x,再由y?sinx22111即可得y=2sin2x的图像. 2【思路点拨】由两点间距离公式表示出AB,再利用中点坐标公式建立线段AB的中点与其两端点的坐标关系,最后代入整理即可. 【答案】x2?y2?4.
?x??2x(3)在平面直角坐标系中,方程2x?4y?1对应的图形经过伸缩变换?后得到的图形对
??y?4y应的方程是( ) A.2x??4y??1?0 C.4x??y??1?0 【知识点】伸缩变换
B.x??y??1?0 D.x??16y??1?0
1?x?x???x??2x2代入到方程2x?4y?1整理得x??y??1?0【解题过程】将?经过变形得?, 1?y??4y?y?y?4?1?x?x????通过对伸缩变换公式的变形为?【思路点拨】1,在代入原图形对应的方程,从而得到?y??y????变形后的图形对应的方程. 【答案】B
(4)将圆x2?y2?1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C对应的方程为________. 【知识点】伸缩变换 【数学思想】
【解题思路】设(x1,y1)为圆上任意一点,在已知变换下变为曲线C上对应的点为(x,y),依题
?x?x1y2y22222意,得?,而x1?y1?1,得x?()?1,所以曲线C的方程为x??1.
y?2y421?【思路点拨】将问题转化为伸缩变换问题,再由伸缩变换公式求解
y2【答案】x??1
42(二)课堂设计 1.知识回顾
(1)平面直角坐标系的作用:使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系,从而实现了数与形的结合.
(2)坐标法:根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究他的性质及其他几何图形的关系. 2.问题探究
探究一 结合实例,感受坐标法思想★
例1 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.(假定声音传播的速度为340m/s,各观测点均在同一平面上.)
●活动① 实际问题抽象转化为数学问题
我们将正东、正西、正北的三个观测点分别记为A,B,C,爆炸点记为P.由于B,C同时听到由点P发出的响声,因此PB?PC,所以点P在线段BC的垂直平分线l上,由于点A听到的响声比B,C晚4s,所以PA?PB?4?340?1360?AB,说明点P在以点A,B为焦点的双曲线?上,所以点P在直线l与双曲线?的交点. 【知识点】平面直角坐标系,双曲线定义 【数学思想】数形结合,转化与化归 【解题过程】
解:以信息中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系. 设A,B,C分别是东、西、北观测点,则A(1020,0),B(?1020,0),C(0,1020) 于是直线l的方程为 y??x
x2y2设双曲线?的方程是2?2?1(a?0,b?0)
ab由已知得a?680,c?1020,b2?10202?6802?5?3402 ,
x2y2于是双曲线?的方程是??1 226805?340将y??x代入上述方程,解得x??6805,y??6805,由已知,响声在双曲线?的左半支上,所以
P(?6805,6805),OP?68010
所以巨响发生在接报中心的西偏北45?距中心68010m处. 【思路点拨】建立坐标系,把实际问题转化为数学问题. 【答案】巨响发生在接报中心的西偏北45?距中心68010m处.
同类训练 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务,对商船进行护航.某日,甲舰在乙舰正东6 km处,丙舰在乙舰北偏西30°,相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远,因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援,行进的方位角应是多少? 【知识点】平面直角坐标系的应用 【数学思想】坐标法思想
【解题过程】设A,B,C,P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示,
以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐