∴△CBE∽△CPB， ∴

=

，

∴BC2=CE?CP；

（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a， ∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°， ∴∠MCB=∠PBM， ∵CD是直径，BM⊥PC， ∴∠CMB=∠BMP=90°， ∴△BMC∽△PMB， ∴

=

，

∴BM2=CM?PM=3a2， ∴BM=

a，

=

，

∴tan∠BCM=∴∠BCM=30°，

∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120° ∴

的长=

=

π．

【点评】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

28．（9.00分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）．

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（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值； （3）点D为抛物线对称轴上一点．

①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标； ②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）易得BC的解析式为y=﹣x+4，先证明△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图1，则△EPG为等腰直角三角形，PE=

PG，

设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，所以PE+EF=2PE+PF=﹣

t2+5

t，然后利用二次函数的性质解决问题；

（3）①如图2，抛物线的对称轴为直线x=﹣点D的纵坐标的取值范围． ②由于△BCD是以BC为斜边的直角三角形有4+（y﹣3）2+1+y2=18，解得y1=

，y2=

，得到此时D点坐标为（，

）或（，

），

然后结合图形可确定△BCD是锐角三角形时点D的纵坐标的取值范围． 【解答】解：（1）把B（4，0），C（0，4）代入y=x2+bx+c，得

，

解得

，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4；

（2）易得BC的解析式为y=﹣x+4，

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∵直线y=x+m与直线y=x平行， ∴直线y=﹣x+4与直线y=x+m垂直， ∴∠CEF=90°，

∴△ECF为等腰直角三角形，

作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图1，△EPG为等腰直角三角形，PE=设P（t，t2﹣5t+4）（1＜t＜4），则G（t，﹣t+4）， ∴PF=∴PE=

PH=PG=﹣

t，PG=﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）=﹣t2+4t，

t2+2

t，

t2+4

t+

t=﹣

t2+5

t=﹣

（t﹣

）PG，

∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣

2+

，

；

当t=时，PE+EF的最大值为

（3）①如图2，抛物线的对称轴为直线x=，

设D（，y），则BC2=42+42=32，DC2=（）2+（y﹣4）2，BD2=（4﹣）2+y2=+y2， 当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即32+（）2+（y﹣4）2=+y2，解得y=5，此时D点坐标为（，

）；

当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即32++y2=（）2+（y﹣4）2，解得y=﹣1，此时D点坐标为（，﹣）； 综上所述，符合条件的点D的坐标是（，

）或（，﹣）；

②当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2，即（）2+（y﹣4）

2+

+y2=32，解得y1=），

，y2=，此时D点坐标为（，）或（，

所以△BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为y＜

．

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＜y＜或﹣＜

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题．

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