案例 (2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为2关键步 (1)略 (2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下： p2t直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)，2tp[关键1：设出直线MH的方程] 代入y＝2px得y－4ty＋4t＝0，解得y1＝y2＝2t， [关键2：联立直线方程与抛物线方程，求出交点的坐标] 即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．[关键3：根据方程的解得到直线与曲线C的公共点情况] 222N，连接ON并延长交C于点H. |OH|(1)求； |ON|(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由. [典型例题]
(2019·广州市调研测试)已知动圆C过定点F(1，0)，且与定直线x＝－1相切． (1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；
(2)过点M(－2，0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M)，使得∠QNM＋∠PNM＝π？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)法一：依题意知，动圆圆心C到定点F(1，0)的距离，与到定直线x＝－1的距离相等，
由抛物线的定义，可得动圆圆心C的轨迹E是以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其中p＝2.
所以动圆圆心C的轨迹E的方程为y＝4x.
法二：设动圆圆心C(x，y)，依题意得（x－1）＋y＝|x＋1|， 化简得y＝4x，即动圆圆心C的轨迹E的方程． (2)假设存在点N(x0，0)满足题设条件．
由∠QNM＋∠PNM＝π可知，直线PN与QN的斜率互为相反数，即kPN＋kQN＝0.① 易知直线PQ的斜率必存在且不为0，设直线PQ：x＝my－2，
??y＝4x2由?，得y－4my＋8＝0. ?x＝my－2?
2
2
2
2
2
由Δ＝(－4m)－4×8>0，得m>2或m<－2.
2
- 9 -
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝8. 由①得kPN＋kQN＝＝
y1
x1－x0x2－x0
＋y2
y1（x2－x0）＋y2（x1－x0）
＝0，
（x1－x0）（x2－x0）
所以y1(x2－x0)＋y2(x1－x0)＝0即，y1x2＋y2x1－x0(y1＋y2)＝0. 1212
消去x1，x2，得y1y2＋y2y1－x0(y1＋y2)＝0，
441
即y1y2(y1＋y2)－x0(y1＋y2)＝0. 41
因为y1＋y2≠0，所以x0＝y1y2＝2，
4
所以存在点N(2，0)，使得∠QNM＋∠PNM＝π.
存在性问题求解的思路及策略
(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论．
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
[对点训练]
(2019·济南市模拟考试)设M是抛物线E：x＝2py(p>0)上的一点，抛物线E在点M处的切线方程为y＝x－1.
(1)求E的方程；
(2)已知过点(0，1)的两条不重合直线l1，l2的斜率之积为1，且直线l1，l2分别交抛物线E于A，B两点和C，D两点，是否存在常数λ使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)法一：联立?
2
2
?y＝x－1???x＝2py2
，消去y得x－2px＋2p＝0.
2
由题意得Δ＝4p－8p＝0.因为p>0，所以p＝2. 故抛物线E的方程为x＝4y.
2
x0?xx?2
法二：设M?x0，?，由x＝2py得y＝，则y′＝. 2p?2pp?x??p＝1由?，解得p＝2.
x??2p＝x－1
02
0
0
22
故抛物线E的方程为x＝4y.
- 10 -
2
(2)假设存在常数λ使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|成立， 11
则λ＝＋.
|AB||CD|
由题意知，l1，l2的斜率存在且均不为零， 设直线l1的方程为y＝kx＋1(k≠0)，则由?
?y＝kx＋1???x＝4y2
，消去y得，x－4kx－4＝0.
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4. 所以|AB|＝1＋k2（x1＋x2）－4x1x2＝1＋k2216k＋16＝4(1＋k)．
22
?1?因为直线l1，l2的斜率之积为1，所以|CD|＝4?1＋2?.
?
k?
1
所以λ＝＋＝＋
|AB||CD|4(1＋k2)
1
1
1＋k1＝＝. 2
14（1＋k）4
4（1＋2）
1
2
k1
所以存在常数λ＝，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|成立．
4
x2y2
1．(2019·武汉市调研测试)已知椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的左顶点为M(－2，0)，离
ab心率为
2. 2
(1)求椭圆Γ的方程；
→→
(2)过点N(1，0)的直线l交椭圆Γ于A，B两点，当MA·MB取得最大值时，求△MAB的面积．
解：(1)由题意得a＝2，＝2
2
2
ca2
，得c＝2， 2
2
所以a－b＝2，即4－b＝2，所以b＝2， 所以椭圆Γ的方程为＋＝1.
42(2)当直线l与x轴重合时， 不妨取A(－2，0)，B(2，0)， →
则点M与点A重合，MA＝0， →→
所以MA·MB＝0.
当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty＋1，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，
x2y2
x＝ty＋1??22
22
由?xy，得(t＋2)y＋2ty－3＝0，
＋＝1??42
- 11 -
显然Δ>0，所以y3＋y4＝－2t－3
，y·y＝， 34
t2＋2t2＋2
→→
所以MA·MB＝(x3＋2)(x4＋2)＋y3y4 ＝(ty3＋3)(ty4＋3)＋y3y4 ＝(t＋1)y3y4＋3t(y3＋y4)＋9 ＝(t＋1)·2
22
－3－2t＋3t·2＋9 2
t＋2t＋2
2
－3－3t－6t＝＋9
t2＋2－9t－3＝2＋9
t＋2＝
1515
≤. t＋22
2
2
15→→
所以MA·MB的最大值为，
2此时t＝0，l：x＝1，不妨取A?1，则|AB|＝6，又|MN|＝3， 1
所以△MAB的面积S＝|AB|·|MN|
2136＝×6×3＝. 22
2．(2019·安徽五校联盟第二次质检)已知A，B是x轴正半轴上的两点(A在B的左侧)，且|AB|＝a(a>0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛物线y＝2px(p>0)在第一象限分别交于D，
2
?
?6??6??，B?1，－?， 2??2?
C两点．
(1)若a＝p，点A与抛物线y＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率；
(2)若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围．
2
S1
S2
????????解：(1)由题意知A?，0?，则B?＋a，0?，D?，p?，则C?＋a，p＋2pa?， ?2??2??2??2?
2
pppp又a＝p，所以kCD＝
3p－p＝3－1. 3pp－22
(2)设直线CD的方程为y＝kx＋b(k≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
??y＝kx＋b2由?2，得ky－2py＋2pb＝0， ??y＝2px - 12 -