福建省南平市2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
x+y
1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）的值为（） A． 2 B． ﹣2i C． ﹣4 D．2i
2．（5分）已知直线x+y=1与圆x+y=1 相交A，B两点，则|AB|=（） A．
3．（5分）等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=8，则log2a1+log2a2+…+log2a10=（） A． 10 B． 8 C． 6 D．4
4．（5分）当α为锐角时，“ A． 充分不必要条件 C． 充要条件
5．（5分）已知向量的值为（） A．
B． ﹣
C． 3
D．﹣3
=（3，﹣4）
cosxdx=”是“α=
”的（）
B．
C．
D．
2
2
B． 必要不充分条件
D． 既不充分也不必要条件
=（6，﹣3），=（2m，m+1）若∥，则实数m
6．（5分）如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4个 7．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）
A． 16+π
B． 4π
C． 24+π
D．24
8．（5分）已知O为坐标原点，点A的坐标是（3，0），点P（x，y）在不等式组所
确定的区域内（包括边界）上运动，则 A． [4，10]
B． [6，9]
2
的范围是（） C． [6，10]
D．[9，10]
9．（5分）已知P是抛物线y=4x上的一个动点，则P到直线l1：4x﹣3y+6=0和l2：x+2=0
的距离之和的最小值是（） A． 1 B． 2 C． 3 D．4
10．（5分）已知a，b∈R，函数f（x）=﹣
2
有两个极值点x1，x2（x1＜x2），f（x2）
=x1，则方程f（x）﹣af（x）﹣b=0的实根个数（） A． 4 B． 3 C． 2 D．0
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11．（4分）为估计图中阴影部分的面积，现采用随机模拟的方法，从边长为1的正方形ABCD中产生200个点，经统计，其中落入阴影部分的点共有134个，则估计阴影部分的面积是．
12．（4分）已知sin（α﹣β）cosα﹣cos（β﹣α）sinα=，β是第三象限角，则tan（β+
13．（4分）在（1+x+x）（1﹣x）的展开式中，含x的系数为 ??．
2
10
4
）=．
14．（4分）已知x，y∈（0，+∞），3
x﹣2
=（），则+的最小值为．
y
15．（4分）若实数a，b，c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为点M，已知点N（3，3），则线段MN的最大值与最小值的和为．
三、解答题（共8小题，满分80分） 16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R （1）求函数f（x）的单调增区间
（2）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a，b，c，若f（A）=2，C=
，c=2，求
△ABC的面积． 17．（13分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球中没有红球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． 18．（13分）如图，在四面体P﹣ABC中，PA⊥面ACB，BC⊥AC，M是PA的中点，E是BM的中点，AC=2，PA=4，F是线段PC上的点，且EF∥面ACB． （Ⅰ）求证：BC⊥AF （Ⅱ）求
；
（Ⅲ）若异面直线EF与CA所成角为45°，求EF与面PAB所成角θ的正弦值．
19．（13分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=在椭圆Γ上．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
，点P（
，1）
（Ⅱ）过Γ的右焦点F作两条垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN必过定点，并求此定点．
20．（14分）已知函数f（x）=a﹣be（e是自然对数的底数，e=2.71828…）的图象在x=0处的切线方程为y=x． （Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ） 若g（x）=mlnx﹣e+mx﹣（m+1）x+1（m＞0），求函数h（x）=g（x）﹣f（x）的单调区间；
（Ⅲ） 若正项数列{an}满足a1=，
21．（7分）已知矩阵M=（Ⅰ） 求矩阵M； （Ⅱ） 设矩阵
，求直线x﹣y+1=0在矩阵NM的对应变换作用下得到的曲线C的方
，若向量
在矩阵M的变换下得到向量
．
=f（an）=f（an）证明：数列{an}是递减数列．
﹣x
﹣x
2
程． 22．（7分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C1：
=
，曲线C2：
，（α为参数）．
（Ⅰ） 求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程； （Ⅱ） 求曲线C2上的点到曲线C1的点的最小距离．
23．已知函数f（x）=|1﹣2x|﹣|2+2x|． （Ⅰ） 解不等式f（x）≥1；
2
（Ⅱ） 若a+2a＞f（x）恒成立，求实数a的取值范围．
福建省南平市2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）的值为（） A． 2 B． ﹣2i C． ﹣4 D．2i
考点： 复数相等的充要条件． 专题： 数系的扩充和复数．
分析： 利用复数的运算法则、复数相等即可得出． 解答： 解：∵yi﹣x=﹣1+i，
x+y