第6章 刚体的平面运动分析

6－1 图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度?绕轴O转动，当运动开始时，角速度?0= 0，转角?0= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。 s 解：xA?(R?r)co? yA?(R?r)sin?

?为常数，当t = 0时，?0=?0= 0

（1） （2）

??12?t 2（3）

起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记?OAP??，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过

?A????

因动齿轮纯滚，故有CP0?CP，即 R??r? ??RR?r?， ?A?? rr??

习题6-1图

（4）

将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为：

?2??xA?(R?r)cos2t??2 ??yA?(R?r)sint

2??1R?r2??A?2r?t?

6－2 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角? 表示杆的角速度。

解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为

B C h B C h A vo P ? ? vC ?AB A v0

?ABvvcos?v0cos??0?0?APACh

2

习题6－2图

习题6－2解图

6－3 图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度?A与?B有什么关系？设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。

?A? 解：

vAv? RRvv?B?B?

2R2R?A?2?B

vB = v ?B ?A

习题6-3图

习题6-3解图

vA = v

6－4 直径为603mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时，滚子的角速度?＝12 rad/s，?＝30?，?＝60?，BC＝270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。

— 1 —

解：杆BC的瞬心在点P，滚子O的瞬心在点D vB???BD?BC?vB??BD ?BPBPO P B C vB O ? ?BC B C ? ? ? 12?603cos30? ?270sin30??8rad/s

? D vC ? vC??BC?PC

?8?0.27cos30??1.87m/s

习题6-4图

习题6-4解图

6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。

D A A B C O ?O1 B C O 习题6-5图

? O1 解：图（a）中平面运动的瞬心在点O，杆BC的瞬心在点C。

图（b）中平面运动的杆BC的瞬心在点P，杆AD做瞬时平移。

vD vB B vA A D vA A vB O1 B 习题6-5解图

vC C ?O vC C O ? O1 (a) (b) P

6－6 图示的四连杆机械OABO1中，OA = O1B =

1AB，曲柄OA的角速度?= 3rad/s。试求当示。?= 90°2?AA而曲柄O1B重合于OO1的延长线上时，杆AB和曲柄O1B的角速度。

解：杆AB的瞬心在O

?ABv?A???3rad/s OAv?B?3??5.2rad/s l

习题6-6图

?ABl?2l?B vB?3l? ?O1B

?O??O1BO1B

习题6-6解图

— 2 —

6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A有向右的速度vA= 0.8m/s，试求卷轴中心O的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？

解：如图

vA0.8??1.333rad/s

0.9?0.30.68 vO?0.9?O?0.9??1.2m/s

6 ?O?卷轴向右滚动。

习题6-7图

6－8 图示两齿条以速度v1和v2作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r，求齿轮的角速度及其中心O的速度。

解：如图，以O为基点： v1?vO??Or

AA O v1 O v1 v2?vO??Or

解得：

?O vO v1?v2 2v?v?O?12

2rvO?B v2习题6－8图

B v2 习题6－8解图

6－9 曲柄－滑块机构中，如曲柄角速度?= 20rad/s，试求当曲柄OA在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆DE的速度。已知OA = 400mm，AC = CB = 20037mm。

vAA?OC

习题6－9图

解：OA定轴转动；AB、CD平面运动，DE平移。 1．当?= 90°，270°时，OA处于铅垂位置，图（a）表示?= 90°情形，此时AB瞬时平移，vC水平，而vD只能沿铅垂， D为CD之瞬心 vDE = 0

同理，?= 270°时，vDE = 0

2．?= 180°，0°时，杆AB的瞬心在B ?= 0°时，图（b），vC?vA（↑） 此时CD杆瞬时平移

vDE?vD?vC?vA?4m/s（↑） 同理?= 180°时，vDE = 4m/s（↓）

1290vCoBvBDE

vA(a)

?OvCACvD?vDEDB12E

(b)

习题6－9解图

6－10 杆AB长为l = 1.5 m，一端铰接在半径为r = 0.5 m的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心O速度的大小为vO = 20 m/s。试求图示瞬时（OA水平）B点的速度以及轮和杆的角速度。

— 3 —

解：轮O的速度瞬心为点C ，杆AB的速度瞬心为点P ?O?vO20??40rad/s r0.5B OA vO A B vB ??OvO A vA A C ?O vA??O2r?202m/s ?AB?vA202sin45??AP1.5cos??102=14.1 rad/s

?AB 习题6－10图

vBcos??vAcos(45???)

vB?202(cos45??sin45?tan?)?12.9m/s

P 习题6－10解图

6－11 图示滑轮组中，绳索以速度vC = 0.12m/s下降，各轮半径已知，如图示。假设绳在轮上不打滑，试求轮B的角速度与重物D的速度。

解：轮B瞬心在F点 vE = vC ?B?vE60?2?10?311 vD?vB?vE?vC?0.06m/s

22

?0.12?1rad/s 0.12F

习题6－11图

6－12 链杆式摆动传动机构如图所示，DCEA为一摇杆，且CA⊥DE。曲柄OA = 200mm，CO = CE = 250mm，曲柄转速n = 70r/min，CO = 2003mm。试求当?= 90°时（这时OA与CA成60°角）F、G两点的速度的大小和方向。

?FF

D?D C?r60??O

?E?GG

E

习题6－12图

习题6－12解图

解：动点：OA上A；动系：DCEA；绝对运动：圆周；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。

vA?OA???0.2? ?e?πn1.4π10.7m/s ve?vA?πm/s ?30323?e?A?eAve0.7π7π7π??rad/s vE?vD?0.254?e?m/s

48CA3?0.4127π3??0.397m/s（→） vF?vG?0.397m/s（←） 482 vG?vEcos30??

6－13 平面机构如图所示。已知：OA = AB = 20 cm，半径r = 5 cm的圆轮可沿铅垂面作纯滚动。在图示位置时，OA水平，其角速度? = 2 rad/s、角加速度为零，杆AB处于铅垂。试求该瞬时：

（1）圆轮的角速度和角加速度； （2）杆AB的角加速度。

— 4 —