《概率论与数理统计》习题及答案
选 择 题
单项选择题
1.以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A为( ). (A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”; (B)“甲、乙两种产品均畅销”; (C)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”; (D)“甲种产品滞销”.
解:设B?‘甲种产品畅销’,C?‘乙种产品滞销’,A?BC A?BC?BUC?‘甲种产品滞销或乙种产品畅销’. 选C. 2.设A,B,C是三个事件,在下列各式中,不成立的是( ). (A)(A?B)UB?AUB; (B)(AUB)?B?A;
(C)(AUB)?AB?ABUAB; (D)(AUB)?C?(A?C)U(B?C).
解:(A?B)UB?ABUB?(AUB)I(BUB)?AUB ?A对. (AUB)?B?(AUB)B?ABUBB?AB?A?B?A B不对 (AUB)?AB?(A?B)U(B?A)?ABUAB. C对 ?选B. 同理D也对.
3.若当事件A,B同时发生时,事件C必发生,则( ). (A)P(C)?P(A)?P(B)?1; (B)P(C)?P(A)?P(B)?1; (C)P(C)?P(AB); (D)P(C)?P(AUB).
解:AB?C?P(C)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(AUB)?P(A)?P(B)?1 ? 选B.
4.设P(A)?a,P(B)?b,P(AUB)?c,则P(AB)等于( ). (A)a?b; (B)c?b; (C)a(1?b); (D)b?a. 解:P(AB)?P(A?B)?P(A)?P(AB)?a?P(A)?P(B)?P(AUB)?c?b
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? 选B.
5.设A,B是两个事件,若P(AB)?0,则( ).
(A)A,B互不相容; (B)AB是不可能事件; (C)P(A)?0或P(B)?0; (D)AB未必是不可能事件. 解:QP(AB)?0??AB??. ? 选D.
6.设事件A,B满足AB??,则下列结论中肯定正确的是( ). (A)A,B互不相容; (B)A,B相容; (C)P(AB)?P(A)P(B); (D)P(A?B)?P(A). 解: A,B相容 ? A不对. A B A?B,B?A,AB?? ? B错. AB???P(AB)?0,而P(A)P(B)不一定为0 ? C错. P(A?B)?P(A)?P(AB)?P(A). ? 选D. 7.设0?P(B)?1,P(A|B)?P(A|B)?1,则( ) (A)A,B互不相容; (B)A,B互为对立; (C)A,B不独立; (D)A,B相互独立.
A B P(AB)P(AB)P(AB)P(AUB)P(AB)1?P(AUB)????? P(B)P(B)P(B)1?P(B)P(B)1?P(B)P(AB)(1?P(B))?P(B)(1?P(A)?P(B)?P(AB)) ??
P(B)(1?P(B))22 P(B)?P(B)?P(AB)?P(B)?P(A)P(B)?P(B)
解:1? ?P(AB)?P(A)P(B) ? 选D. 8.下列命题中,正确的是( ). (A)若P(A)?0,则A是不可能事件;
(B)若P(AUB)?P(A)?P(B),则A,B互不相容; (C)若P(AUB)?P(AB)?1,则P(A)?P(B)?1; (D)P(A?B)?P(A)?P(B).
解:P(AUB)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(AUB)?P(AB)?P(A)?P(B)?1 由P(A)?0??A??, ? A、B错.
只有当A?B时P(A?B)?P(A)?P(B),否则不对. ? 选C.
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9.设A,B为两个事件,且B?A,则下列各式中正确的是( ). (A)P(AUB)?P(A); (B)P(AB)?P(A); (C)P(B|A)?P(B); (D)P(B?A)?P(B)?P(A). 解:B?A?AUB?A?P(AUB)?P(A) ?选A. 10.设A,B是两个事件,且P(A)?P(A|B);
(A)P(A)?P(A|B); (B)P(B)?0,则有( ) (C)P(A)?P(A|B); (D)前三者都不一定成立.
P(AB)要与P(A)比较,需加条件. ?选D. P(B) 11.设0?P(B)?1,P(A1)P(A2)?0且P(A1UA2|B)?P(A1|B)?P(A2|B),
解:P(A|B)?则下列等式成立的是( ).
(A)P(A1UA2|B)?P(A1|B)?P(A2|B); (B)P(A1BUA2B)?P(A1B)?P(A2B); (C)P(A1UA2)?P(A1|B)?P(A2|B); (D)P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2).
解1:P(A1UA2|B)?P(A1|B)?P(A2|B)?P(A1A2|B)?P(A1|B)?P(A2|B) ?P(A1A2|B)?0?P(A1A2B)?0
P(A1BUA2B)?P(A1B)?P(A2B)?P(A1A2B)?P(A1B)?P(A2B) ? 选B.
解2:由P{A1UA2|B}?P(A1|B)?P(A2|B) 得
P(A1BUA2B)P(A1B)?P(A2B)?
P(B)P(B) 可见 P(A1BUA2B)?P(A1B)?P(A2B) ? 选B.
12.假设事件A,B满足P(B|A)?1,则( ). (A)B是必然事件; (B)P(B)?1; (C)P(A?B)?0; (D)A?B.
P(AB)?1?P(AB)?P(A)?P(A)?P(AB)?0
P(A) ?P(A?B)?0 ? 选C.
13.设A,B是两个事件,且A?B,P(B)?0,则下列选项必然成立的是
解:P(B|A)?( ).
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(A)P(A)?P(A|B); (B)P(A)?P(A|B); (C)P(A)?P(A|B); (D)P(A)?P(A|B).
P(AB)A?BP(A)????P(A) 解:P(A|B)?P(B)P(B) A?B?P(A)?P(B)0?P(B)?1 ?选B (或者:A?B,P(A)?P(AB)?P(B)P(A|B)?P(A|B))
14.设P(B)?0,A1,A2互不相容,则下列各式中不一定正确的是( ). (A)P(A1A2|B)?0;
(B)P(A1UA2|B)?P(A1|B)?P(A2|B); (C)P(A1A2|B)?1; (D)P(A1UA2|B)?1.
解:P(A1A2)?0?QA1A2??
P(A1A2B)?0 A对.
P(B) P(A1UA2|B)?P(A1|B)?P(A2|B)?P(A1A2|B)
P(A1A2|B)? ?P(A1|B)?P(A2|B) B对. P(A1A2|B)?P(A1UA2|B)?1?P(A1UA2|B)
?1?P(A1|B)?P(A2|B)?1 C错. P(A1UA2|B)?P(A1A2|B)?1?P(A1A2|B)?1?0?1 D对. ∴ 选C.
15.设A,B,C是三个相互独立的事件,且0?P(C)?1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).
(A)AUB与C; (B)AC与C; (C)A?B与C; (D)AB与C.
解:P[(AUB)C]?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?(1?P(A))(1?P(B))P(C) ?[1?(P(A)?P(B)?P(A)P(B))]P(C)?P(AUB)P(C) A对. P(ACC)?P[(AUC)C]?P(ACUCC)?P(AC)?P(C)?P(AC) ?P(C)?P(AC)P(C) ?AC与C不独立 ? 选B.
16.设A,B,C三个事件两两独立,则A,B,C相互独立的充分必要条件是( ).
(A)A与BC独立; (B)AB与AUC独立; (C)AB与AC独立; (D)AUB与AUC独立.
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解:QA,B,C两两独立, ?若A,B,C相互独立则必有
P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(BC) ?A与BC独立.
反之,如A与BC独立则P(ABC)?P(A)P(BC)?P(A)P(B)P(C) ?选A. 17.设A,B,C为三个事件且A,B相互独立,则以下结论中不正确的是( ). (A)若P(C)?1,则AC与BC也独立; (B)若P(C)?1,则AUC与B也独立; (C)若P(C)?1,则A?C与A也独立;
(D)若C?B,则A与C也独立. 解:QP(AB)?P(A)P(B),P(C)?1?概率为1的事件与任何事件独立
?AC与BC也独立. A对. P[(AUC)IB]?P[(AUC)B]?P(ABUBC) ?P(AB)?P(BC)?P(ABC)?P(AUC)P(B) ? ∴ C对 ∴ 选D(也可举反例).
18.一种零件的加工由两道工序组成. 第一道工序的废品率为p1,第二道工序的废品率为p2,则该零件加工的成品率为( ). (A)1?p1?p2; (B)1?p1p2; (C)1?p1?p2?p1p2; (D)(1?p1)?(1?p2). 解:设A?成品零件,Ai?第i道工序为成品 i?1,2. P(A1)?1?p1 P(A2)?1?p2
P(A)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)?(1?p1)(1?p2) ?1?p1?p2?p1p2 ∴ 选C.
19.设每次试验成功的概率为p(0?p?1),现进行独立重复试验,则直到第10次试验才取得第4次成功的概率为( ).
446346 (A)C10p(1?p); (B)C9p(1?p); 336445 (C)C9p(1?p); (D)C9p(1?p).
B对.
P[(A?C)A]?P(ACA)?P(AC)?P(A)P(C)?P(A)P(AC)
解:说明前9次取得了3次成功 ∴ 第10次才取得第4次成功的概率为
336346 C9p(1?p)p?C9p(1?p)
∴ 选B.
20.设随机变量X的概率分布为P(X?k)?b?,k?1,2,L,b?0,则
k ·155·
( ).
(A)?为任意正实数; (B)??b?1;
11; (D)??. 1?bb?1????b?kk??1 解:?P(X?K)??b??b???b1??1??k?1k?1k?11 ? ?? 选C.
1?b 21.设连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为f(x)和F(x),则
(C)??下列各式正确的是( ).
(A)0?f(x)?1; (B)P(X?x)?f(x); (C)P(X?x)?F(x); (D)P(X?x)?F(x). 解:F(x)?P(X?x)?P(X?x) ∴ 选D. 22.下列函数可作为概率密度的是( ). (A)f(x)?e,x?R; 1,x?R; (B)f(x)??(1?x2)?|x|?1?xe2,x?0,? (C)f(x)??2?
?0,x?0;??1,|x|?1, (D)f(x)??
?0,|x|?1. 解:A: B:
2???????e?|x|dx?2???0e?xdx?2???0e?xdx?2 ∴ 错.
dx11?????arctanx?[?]?1 ????(1?x2)????221?0x?R ∴ 选B. 且 f(x)?2?(1?x) 23.下列函数中,可作为某个随机变量的分布函数的是( ). (A)F(x)?111F(x)??arctanx; ; (B)
1?x22??1?x?(1?e), (C)F(x)??2?,?0 · ·156
x?0x?0;
x?????? (D)F(x)???f(t)dt,其中?f(t)dt?1.
解:对A:0?F(x)?1,但F(x)不具有单调非减性且F(??)?0 ∴A不是. 对B:?22 由arctanx是单调非减的 ∴ F(x)是单调非减的.
11?11? F(??)???(?)?0 F(??)????1.
2?22?2 F(x)具有右连续性. ∴ 选B.
24.设X1,X2是随机变量,其分布函数分别为F1(x),F2(x),为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值
中应取( ).
?arctanx?? ∴ 0?F(x)?1.
3222,b??; (B)a?,b?; 55331313 (C)a??,b?; (D)a?,b?.
2222 解:F(??)?aF1(??)?bF2(??)?0,F(??)?a?b?1,只有A满足
(A)a? ∴ 选A
25.设随机变量X的概率密度为f(x),且f(?x)?f(x),F(x)是X的分布函数,则对任意实数a有( ). (A)F(?a)?1?a0?f(x)dx;
a1 (B)F(?a)???f(x)dx;
02 (C)F(?a)?F(a);
(D)F(?a)?2F(a)?1. 解:F(?a)? ???a??????f(x)dx???a??f(??)du????a0??f(u)du f(x)dx??a0?f(x)dx??a??f(x)dx?1?(?f(x)dx)
?1? 由
aa11??f(x)dx???f(x)dx
0022?????f(x)dx?2???0f(x)dx?1 ?2???0f(x)dx??0??f(x)dx?1 2 ∴ 选B.
26.设随机变量X~N(1,2),其分布函数和概率密度分别为F(x)和
·157·
f(x),则对任意实数x,下列结论中成立的是( ).
(A)F(x)?1?F(?x); (B)f(x)?f(?x); (C)F(1?x)?1?F(1?x);
?1?x??1?x??1?F???. 22????2 解:QX~N(1,2)?f(x)以x?1为对称轴对称.
(D)F? ?P(X?1?x)?P(X?1?x)
即 F(1?x)?1?P(X?1?x)?1?F(1?x) ∴ 选C.
27.设X~N(?,4),Y~N(?,5),设P(X???4)?p122,
P(Y???5)?p2,则( ).
(A)对任意实数?有p1?p2; (B)p1?p2;
(C)p1?p2; (D)只对?的个别值才有p1?p2.
???4??????(?1)?1??(1) 4?????5??? p2?P(Y???5)?1?P(Y???5)?1?????1??(1)
5?? ∴ p1?p2 ∴ 选A (or利用对称性)
2 28.设X~N(?,?),则随着?的增大,概率P(|X??|??)的值( ).
解:p1?P(X???4)??? (A)单调增大; (B)单调减少; (C)保持不变; (D)增减不定.
解:P(|X??)|???P(????X????)??(1)??(?1)?2?(1)?1 ∴ 不随?变 ∴ 选C.
29.设随机变量X的分布函数为FX(x),则Y?5X?3的分布函数 FY(y)为( ).
(A)FX(5y?3); (B)5FX(y)?3; (C)FX?1?y?3??; (D)FX(y)?3.
5?5?1(y?3)) 5 解:FY(y)?P(Y?y)?P(5X?3?y)?P(X? ?FX??y?3?? ∴ 选C. 5?? · ·158
1,则Y?2X的概率密度为( ). 2?(1?x)11 (A); (B);
?(4?y)2?(1?4y2)22 (C); (D).
?(4?y2)?(1?y2)y?y? 解:FY(y)?P(Y?y)?P(2X?y)?P(X?)?FX??
2?2?1?y?112? ? fY(y)?fX???? ∴ 选C. 22y2?2?2?(4?y)?(1?)4 31.设随机变量X与Y相互独立,其概率分布分别为
X?11Y?11 11 11
PP2222 30.设X的概率密度为f(x)?则下列式子正确的是( ).
(A)X?Y; (B)P(X?Y)?0;
1; (D)P(X?Y)?1. 2 解:A显然不对. P(X?Y)?P(X??1,Y??1)?P(X?1,Y?1)
(C)P(X?Y)? ?P(X??1)P(Y??1)?P(X?1)P(Y?1)?∴ 选C.
32.设X~N(0,1),Y~N(1,1),且X与Y相互独立,则( ).
11111???? 2222211; (B)P(X?Y?1)?; 2211 (C)P(X?Y?0)?; (D)P(X?Y?1)?.
22 解:X~N(0,1)Y~N(1,1)且独立 ∴ X?Y~N(1,2)
(A)P(X?Y?0)? P(X?Y?1)?P(X?Y?1)??(0)? 33.设随机变量
1 ∴ 选B. 2??1Xi~?1??4且满足P(X1X2?0)?1,则P(X1
01?11?,i?1,2
?24??X2)?( ).
·159·
(A)0; (B)1/4; (C)1/2; (D)1. 解:
X1 X2 ?10140?1 001401014104111pi?424 P(X1X2?0)?1?P(X1X2?0)?0
∴ P(X1?X2)?P(X1?X2??1)?P(X1?X2?0)?P(X1?X2?1)
1 ?0?0?0?0 ∴ 选A.
34.设随机变量X取非负整数值,P(X?n)?an(n?1),且EX?1,则
p?j1412 14a的值为( ).
3?53?5; (B); 223?5 (C); (D)1/5.
2 (A) 解:1?EX??nan?1?n?a?nan?1?n?1?a?(X)?nn?1?X?a?a(?Xn?1)?n?0?X?a
??x? ?a??1?x??2?aX?a21
(1?a)23?5,但a?1. 2 ∴ a?(1?a),a?3a?1?0,a? ∴ a?3?5. ∴ 选B. 2 35.设连续型随机变量X的分布函数为
1?1??x4,F(x)???0,?则X的数学期望为( ).
· ·160
x?1,x?1,
(A)2; (B)0; (C)4/3; (D)8/3.
?5??4x 解:f(x)????0x?1x?1
EX???1x??dx41?3?4dx?4?4?(?)x? ?1x41x533 ∴ 选C.
36.已知X~B(n,p),EX?2.4,DX?1.44,则二项分布的参数为( ). (A)n?4,p?0.6; (B)n?6,p?0.4; (C)n?8,p?0.3; (D)n?24,p?0.1.
EX?np?2.4? 解:??q?1.44?2.4?0.6?p?0.4 n?6
DX?npq?1.44? ∴ 选B.
37.已知离散型随机变量X的可能值为x1??1,x2?0,x3?1,且
EX?0.1,DX?0.89,则对应于x1,x2,x3的概率p1,p2,p3为( ).
(A)p1?0.4,p2?0.1,p3?0.5;(B)p1?0.1,p2?0.1,p3?0.5; (C)p1?0.5,p2?0.1,p3?0.4;(D)p1?0.4,p2?0.5,p3?0.5.
??? 22DX?EX?(EX)?EX?0.89?(0.1)?0.9?p1?p3???p1?0.4? ??p2?0.1 ∴ 选A.
?p?0.5?3 38.设X~N(2,1),Y~N(?1,1),且X,Y独立,记Z?3X?2Y?6,
解: EX?0.1??p1?p3 22则Z~__________.
(A)N(2,1); (B)N(1,1); (C)N(2,13); (D)N(1,5). 解:X~N(2,1)Y~N(?1,1)且独立
∴ EZ?E(3X?2Y?6)?2.
DZ?9DX?4DY?9?4?13.
又独立正态变量的线性组合仍为正态变量,∴ Z~N(2,13) ∴ 选C.
39.设X~N(2,9),Y~N(2,1),E(XY)?6,则D(X?Y)之值为( ).
·161·
(A)14; (B)6; (C)12; (D)4. 解:D(X?Y)?DX?DY?2cov(X,Y), cov(X,Y)?EXY?EXEY?6?4?2 D(X?Y)?9?1?2?2?6. ∴ 选B.
40.设随机变量X的方差存在,则( ).
(A)(EX)2?EX2; (B)(EX)2?EX2; (C)(EX)2?EX2; (D)(EX)2?EX2.
解:DX?EX2?(EX)2?0 ? EX2?(EX)2. ∴ 选D. 41.设X1,X2,X3相互独立,且均服从参数为
?的泊松分布,令
1Y?(X1?X2?X3),则Y2的数学期望为( ).
3111222 (A)?; (B)?; (C)???; (D)???.
333 解:?X1X2X3独立~P(?) ?(X1?X2?X3)~P(3?)
E(X1?X2?X3)?D(X1?X2?X3)?3?
1?D(X1?X2?X3)? 932222 ?EY?(EY)?EY??
?22 ∴ EY??? ∴选C.
3 42.设X,Y的方差存在,且EXY?EXEY,则( ).
(A)D(XY)?DXDY; (B)D(X?Y)?DX?DY;
D[(X1?X2?X3)]?13 (C)X与Y独立; (D)X与Y不独立. 解:D(X?Y)?DX?DY?2cov(X,Y)
?DX?DY?2(EXY?EXEY)?DX?DY ∴选B.
43.若随机变量X,Y满足D(X?Y)?D(X?Y),且DXDY?0,则必有( ).
(A)X,Y独立; (B)X,Y不相关; (C)DY?0; (D)D(XY)?0.
解:D(X?Y)?D(X?Y)?cov(X,Y)?0?P?0?X,Y不相关. ∴ 选B.
44.设X,Y的方差存在,且不等于0,则D(X?Y)?DX?DY是X,Y · ·162
( ).
(A)不相关的充分条件,但不是必要条件; (B)独立的必要条件,但不是充分条件; (C)不相关的必要条件,但不是充分条件; (D)独立的充分必要条件.
解:由D(X?Y)?DX?DY?cov(X,Y)?0???0?X与Y不相关 ∴ D(X?Y)?DX?DY是不相关的充要条件. A、C不对. 由独立?D(X?Y)?DX?DY,反之不成立 ∴ 选B.
45.设X,Y的相关系数?XY?1,则( )
(A)X与Y相互独立; (B)X与Y必不相关; (C)存在常数a,b使P(Y?aX?b)?1; (D)存在常数a,b使P(Y?aX?b)?1. 解:|?XY|?1?存在a,b使P(Y?aX?b)?1 ∴ 选C.
46.如果存在常数a,b(a?0),使P(Y?aX?b)?1,且0?DX???,那么X,Y的相关系数?为( ).
(A)1; (B)–1; (C)|?|?1; (D)|?|?1. 解:cov(X,Y)????cov(X,aX?b)?acov(X,X)?aDX DY????aDX ?XY以概率12以概率12cov(X,Y)以概率1aDXa??????
|a|DX|a|DX?DY ?|?|?1,以概率1成立. ∴ 选C.
47.设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为
X
Y 00.100.210.050.10.120.25 0.20012则( ).
(A)X,Y不独立; (B)X,Y独立; (C)X,Y不相关; (D)X,Y独立且相关.
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解:P(X?0,Y?0)?0.1
P(X?0)P(Y?0)?(0.1?0.05?0.25)(0.1?0.2) ?0.4?0.3?0.12 P(X?0,Y?0)?P(X?0)P(Y?0) ∴ X与Y不独立. ∴ 选A.
48.设X为连续型随机变量,方差存在,则对任意常数C和??0,必有( ).
(A)P(|X?C|??)?E|X?C|/?; (B)P(|X?C|??)?E|X?C|/?; (C)P(|X?C|??)?E|X?C|/?; (D)P(|X?C|??)?DX/?. 解:P(|X?C|??)? ? ∴ 选C.
49.设随机变量X的方差为25,则根据切比雪夫不等式,有P(|X?EX|?10)( ).
(A)?0.25; (B)?0.75; (C)?0.75; (D)?0.25. 解:P(|X?EX|?10)?1? ∴ 选C.
50.设X1,X2,?为独立随机变量序列,且Xi服从参数为?的泊松分布,
2?|X?C|??f(x)dx??f(x)dx?1|X?C||X?C|???f(x)dx
?????|X?C|??E|X?C|
DX?2?1?253??0.75 1004i?1,2,?,则( ).
?n?X?n??i???i?1? (A)limP??x???(x);
n??n??????? (B)当n充分大时, (C)当n充分大时,
?Xi?1nni近似服从标准正态分布; 近似服从N(n?,n?);
?Xi?1i · ·164
n (D)当n充分大时,P(?Xi?1i?x)??(x).
解:由独立同分布中心极限定理? ∴ 选C
i?1n???Xni近似服从N(n?,n?)
51.设X1,X2,?为独立随机变量序列,且均服从参数为?的指数分布,则( ).
n?n?X??i????i?1? (A)limP??x???(x); 2n???n/???????n??X?n?i???i?1? (B)limP??x???(x);
n??n??????1?n?X??i????i?1? (C)limP??x???(x); 2n???1/???????n??X?n?i???i?1? (D)limP??x???(x).
n??n??????11?n?n?n?n 解:EXi? DXi?2 E??Xi?? D??Xi??2
???1???1???n??n?n?X?nX??i?i??????1??1??x???(x). 由中心极限定理limP??x??limP?n??n??nn????2????????? ∴ 选B.
52.设X1,X2,X3,X4是总体N(?,是统计量的是( ).
?2)的样本,?已知,?2未知,则不
·165·
4 (A)X1?5X4; (B)
?Xi?1i??;
2i (C)X1??; (D)
?Xi?14.
统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数. ∴ 选C.
53.设总体X~B(1,p),X1,X2,?,Xn为来自X的样本,则P?X?( ).
(A)p; (B)1?p;
kkk (C)Cnp(1?p)n?k; (D)Cn(1?p)kpn?k.
n??k???n? 解:X1X2?Xn相互独立且均服从B(1,p) 故 即 nX~B(n,p) 则P(X? ∴ 选C.
?Xi?1i~B(n,p)
kkk)?P(nX?k)?Cnp(1?p)n?k n 54.设X1,X2,?,Xn是总体N(0,1)的样本,X和S分别为样本的均值和样本标准差,则( ).
(A)X/S~t(n?1); (B)X~N(0,1);
22 (C)(n?1)S~?(n?1); (D)nX~t(n?1).
1111n?X~N(0,) B错 解:X??Xi EX?0,DX?2n?nnnni?1 ?
(n?1)S2?2XS~?2(n?1) ?(n?1)222S?(n?1)S~?(n?1) 21n~t(n?1). ∴ A错.
∴ 选C.
22 55.设X1,X2,?,Xn是总体N(?,?)的样本,X是样本均值,记S1?
1n1n1n2222(Xi?X),S2??(Xi?X),S3?(Xi??)2,??n?1i?1ni?1n?1i?11n2S4??(Xi??)2,则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是( ).
ni?1 · ·166
X??X??; (B)T?;
S1/n?1S2/n?1X??X?? (C)T?; (D)T?
S4/nS3/n (A)T??(X 解:
i?1ni?X)2~?2(n?1)
X???2?n~N(0,1)
X?? T??1n~t(n?1)
i?2?(Xi?1n?X)2n?1(X??)nX???n?1~t(n?1) T?2S2nS2/n?1 ∴ 选B.
2 56.设X1,X2,?,X6是来自N(?,?2)的样本,S为其样本方差,则DS2的值为( ).
(A)?; (B)?; (C)?; (D)
2 解:X1,X2,L,X6~N(?,?),n?6 ∴
13415425422?. 55S2?2~?2(5)
2??5S2???2?5?10 即DS2?10?4?2?4 由?分布性质:D??2?255?? ∴ 选C.
57.设总体X的数学期望为?,X1,X2,?,Xn是来自X的样本,则下列结论中正确的是( ).
(A)X1是?的无偏估计量; (B)X1是?的极大似然估计量; (C)X1是?的一致(相合)估计量; (D)X1不是?的估计量.
解:QEX1?EX???X1是?的无偏估计量. ∴ 选A.
2 58.设X1,X2,?,Xn是总体X的样本,EX??,DX??,X是样本
·167·
均值,S2是样本方差,则( ).
??2?2 (A)X~N??,?; (B)S与X独立;
n??(n?1)S2~?2(n?1); (D)S2是?2的无偏估计量. (C)2? 解:已知总体X不是正态总体 ?(A)(B)(C)都不对.
∴ 选D.
22 59.设X1,X2,?,Xn是总体N(0,?)的样本,则( )可以作为?的
无偏估计量.
1n21n2Xi; (A)?Xi; (B)?ni?1n?1i?11n1nXi. (C)?Xi; (D)?ni?1n?1i?1 解:EXi?0,DXi?EXi2?(EXi)2?EXi2??2
1n2122 E(?Xi)??n???
n1n ∴ 选A.
60.设总体X服从区间[??,?]上均匀分布(??0),x1,?,xn为样本,
则?的极大似然估计为( )
(A)max{x1,?,xn}; (B)min{x1,?,xn} (C)max{|x1|,?,|xn|} (D)min{|x1|,?,|xn|}
?1x?[??,?]? 解:f(x)??2?
??0其它?1,?n(2?) 似然正数L(x1,?,xn;?)??f(xi,?)??i?1?0,?n|xi|??i?1,2,L,n其它
此处似然函数作为?函数不连续 不能解似然方程求解?极大似然估计
??X?max{|X|,?,|X|} ∴ L(?)在??X(n)处取得极大值 ?n1n ∴ 选C.
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