复习试题
一、填空题：
?4?10?A????14?1?1、
??14??0??，则A的LU分解为 ??????A???????????????????。
2、已知f(1)?1.0,f(2)?1.2,f(3)?1.3，则用辛普生（辛卜生）
3公式计算求得
?1f(x)dx?_________,用三点式求得
f?(1)? 。
3、f(1)??1,f(2)?2,f(3)?1，则过这三点的二次插值多项式中
x2的系数为 ，拉格朗日插值多项式
为 。
4、近似值x*?0.231关于真值x?0.229有( 2 )位有效数字； 5、设f(x)可微,求方程x?f(x)的牛顿迭代格式是( )；
6、对
f(x)?x3?x?1,差商
f[0,1,2,3]?( 1 ),f[0,1,2,3,4]?( 0 )；
7、计算方法主要研究( )误差和( )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为( )；
9、求解一阶常微分方程初值问题y?= f (x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为( )；
10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式
中x2系数为( )； 111、 两点式高斯型求积公式?0f(x)dx≈( )，代数精度
为( )；
12、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为
( )。
y?10?313、 为了使计算
x?1?4(x?1)2?6(x?1)3 的乘除法次
数尽量地少，应将该表达式改写为 ，为了减少舍
1
入误差，应将表达式2001?1999改写为 。 14、 用二分法求方程f(x)?x3?x?1?0在区间[0,1]内的根,进行
一步后根的所在区间为 ,进行两步后根的所在区间为 。 115、 计算积分?0.5xdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的
近似值为 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 ，辛卜生公式的代数精度为 。
?3x1?5x16、 求解方程组?2?1?0.2x1?4x2?0的高斯—塞德尔迭代格式
为 ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径
?(M)= 。
17、 设f(0)?0,f(1)?16,f(2)?46,则l1(x)? ，f(x)的二次牛顿插值多项式为 。
bf(x)dx?18、 求积公式
?aAkf(xk)k?n?0的代数精度以( )求积
公式为最高，具有( )次代数精度。
19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求
?51f(x)dx≈( )。
20、 设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求f?(1)?( )。
21、如果用二分法求方程x3?x?4?0在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
?S(x)??x30?x?1?122、已知??2(x?1)3?a(x?1)2?b(x?1)?c1?x?3是三次样
条函数，则
a=( )，b=（ ），c=（ ）。
23、l0(x),l1(x),?,ln(x)是以整数点x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基
函数，则
?nlk(x)?k?0(
)，
?nxklj(xk)?k?0(
)，当n?2时
?n(x4k?x2k?3)lk(x)?k?0( )。
??y??f(x,y)24
、解初值问题
?y(x0)?y0的改进欧拉法
??y[0]n?1?yn?hf(xn,yn)???yn?1?yn?h2[f(xn,yn)?f(x[0]n?1,yn?1)]是
阶方法。
25、区间?a,b?上的三次样条插值函数S(x)在?a,b?上具有直到__________
2
阶的连续导数。
26、改变函数f(x)?x?1?确 。
x (x??1)的形式，使计算结果较精
2f(x)dx?[f(?1)?8f(0)?f?(1)]??1934、数值积分公式的代数精度
1为 。
27、若用二分法求方程f?x??0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，
?12??1?则需要对分 次。
S?x????2x3,0?x?128、设
?x3?ax2?bx?c,1?x?2是3次样条函数，则 a= , b= , c= 。
29、若用复化梯形公式计算?10exdx，要求误差不超过10?6，利用余项公式
估计，至少用 个求积节点。
??x1?1.6x2?130、写出求解方程组??0.4x1?x2?2的Gauss-Seidel迭代公式 ??x?k?1?1.6x?k?1?1?2?k?1??2?0.4x?k?1?,k?0,1,??x21，迭代矩阵为 ，此迭代法
是否收敛 。
A???54?31、设
?43??,则A?? 。
?482?A???257?32、设矩阵
???136??的A?LU，则U? 。 33
、
若
f(x)?3x4?x?2，1则差
商
f[2,4?,8 , , 。 ]
??01??1???x??5??1?2??35、
线性方程组?10????3??的最小二乘解为 。
?321?A???204?36、设矩阵
???135??分解为A?LU，则U? 。 二、单项选择题：
1 、 Jacobi
迭代法解方程组Ax?b的必要条件是（ ）。 A．A的各阶顺序主子式不为零 B． ?(A)?1 C． aii?0,i?1,2,?,n D． A?1
??22?3?A??051?2、设
??7??00??，则?(A)为( )． A． 2 B． 5 C． 7 D． 3
3、三点的高斯求积公式的代数精度为( )。
A． 2 B．5 C． 3 D． 4
3
4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是( )。 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 A． 对称阵 B． 正定矩阵
C． 任意阵 D． 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( )产生的误差。
A. 只取有限位数 B．模型准确值与用数值方法求得的准确
值
C． 观察与测量 D．数学模型准确值与实际值 6、3.141580是π的有( )位有效数字的近似值。
A． 6 B． 5 C． 4 D． 7 7、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( )误差。
A． 模型 B． 观测 C． 截断 D． 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( )。 A．控制舍入误差 B． 减小方法误差 C．防止计算时溢出 D． 简化计算
x 9、用1+3近似表示31?x所产生的误差是( )误差。
A． 舍入 B． 观测 C． 模型 D． 截断 10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( )位有效数字。
11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为
( )。
A． –0．5 B． 0．5 C． 2 D． -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( )。 A． 3 B． 4 C． 5 D． 2 13、( )的3位有效数字是0.236×102。
(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D)
235.54×10－1
14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成
x=?(x)，则f(x)=0的根是( )。
(A) y=?(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=?(x)交点的横坐标
(C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=?(x)的交点
??3x1?x2?4x3?1??x1?2x2?9x3?015、用列主元消去法解线性方程组???4x1?3x2?x3??1，第1次消
元，选择主元为( ) 。
4
(A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9
16、拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是( ) 。
(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)， f(n?1)(?)Rn(x)?f(x)?Pn(x)?(n?1)! (B)
19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改
写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )。
x2?1,迭代公式:xk?1?x?11xk?1(A)
x?1?(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)， (D)
Rn(x)?f(x)?Pn(x)?f(?)?n?1(x)(n?1)!
(n?1)(B)(C)11,迭代公式:x?1?k?12x2xk
21/3x3?1?x2,迭代公式:xk?1?(1?xk)
17、等距二点求导公式f?(x1) ?( )。
(A)f(x1)?f(x0)x1?x0(B)f(x1)?f(x0)x0?x1(C)f(x0)?f(x1)x0?x1(D)x?1?x,迭代公式:xk?132(D)2xk?1?2xk?xk?1
?y??f(x,y)??y(x?)?y?欧拉法的局部截断误差是();改进欧、求解初值问题f(x1)?f20(x0)x1?x0拉法的局部截断误差是();四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( )
18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。
(A)f(x0)f??(x)?0(B)f(x0)f?(x)?0(C)f(x0)f??(x)?0(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4)
(D)O(h5) Ax?b的简单迭代格式x?(、解方程组(D)f(x0)fx)?021（ ）。
(k?1)?Bx(k)?g收敛的充要条件是
（1）?(A)?1, (2) ?(B)?1, (3) ?(A)?1, (4) ?(B)?1
5
?22、在牛顿-柯特斯求积公式：Cbaf(x)dx?(b?a)?Ci?0n(n)if(xi)（ ） 中，当系数 ）时xi f(xi) b(n)i是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ １ -1 1.5 0.5 ２ 2.5 2.5 5.0 ３ 8.0 3.5 11.5 的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）n?8， （2）n?7， （3）n?10， （4）n?6， 23、有下列数表 x 0 0.5 1 1.5 2 f(x) -2 -1.75 -1 0.25 所确定的插值多项式的次数是（ ）。 （1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次 2 (A)5； (B)4； (C) 3； (D) 2。 11223328、形如a的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（ ） 2.5 (A)9； (B)7； (C) 5； (D) 3。 4.25 29、计算3的Newton迭代格式为( ) ?f(x)dx?Af(x)?Af(x)?Af(x)hhyn?1?yn?hf(xn?,yn?f(xn,yn))2224、若用二阶中点公式求解初值问题y???2y,y(0)?1，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（ ）。 (1)0?h?1, (2)0?h?1, (3)0?h?1, (4)0?h?1 4x?(3?1)3?1.73225、取计算，下列方法中哪种最好？（ ） 16xk3xx32?xk?1?k?xk?1?k?2xk；(B)22xk；(C) 2xk；(D) (A) x3xk?1?k?3xk。 xk?1?3230、用二分法求方程x?4x?10?0在区间[1,2]内的实根，要求误差限为1???10?32，则对分次数至少为( ) (A)10； (B)12； (C)8； (D)9。 31、经典的四阶龙格—库塔公式的局部截断误差为 ( ) (A)O(h)； (B)O(h)； (C) O(h)； (D) O(h)。 32、设li(x)是以xk?k(k?0,1,?,9)为节点的Lagrange插值基函数，则942532(A)28?163； (B)(4?23)； (C) (4?23)； (D) 216(3?1)4。 ?x3S(x)??32(x?1)?a(x?2)?b?26、已知0?x?22?x?4是三次样条函数，则a,b?kl(k)?ik?0( ) 的值为( ) (A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。 27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是
(A)x； （B）k； （C）i； （D）1。 33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度 (A)5； (B)4； (C)6； (D)3。 6
?x3S(x)??3?2(x?1)?a(x?2)?b34、已知0?x?22?x?4是三次样条函数，则a,b(x?x0)(x?x2)3、(x1?x0)(x1?x2)表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。
的值为( ) (A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。 335、已知方程x?2x?5?0在x?2附近有根，下列迭代格式中在x0?2不收敛的是( ) ( ? )
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利
用前一次插值的结果。 ( ? )
?311????253???125??具有严格对角占优。 A=?xk?1?2xk?5； (B)32xk?5xk?1?23xk?2。 (D)(A)3xk?1?2?53xk； (C)xk?1?xk?xk?5； 5、矩阵
( )
4 -5
36、由下列数据 0 1 2 3 x 1 2 4 3 f(x) 确定的唯一插值多项式的次数为( ) (A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。 37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为( ) (A)8； (B)9； (C)10； (D)11。 四、计算题：
三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打?，否则打?） 1，2，?，m),用最小二乘法求n次拟1、已知观察值(xi，yi)(i?0，?4x1?2x2?x3?11??x1?4x2?2x3?18?2x?x?5x?22231、用高斯-塞德尔方法解方程组 ?1，取
x(0)?(0,0,0)T，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。
合多项式Pn(x)时，Pn(x)的次数n可以任意取。 ( ) 2、用
近似表示cosx产生舍入误差。
7
x21-2( ) 2、求
1A、B使求积公式
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）。 11f(x)dx?A[f(?1)?f(1)]?B[f(?)?f()]??122的代数精度尽
1,并求其代数精度；利用此公式求I??2量高1xdx(保留四位小
数)。
3、已知
xi 1 3 4 5 f(xi) 2 6 5 4
4、取步长h?0.2，用预估-校正法解常微分方程初值问题
??y??2x?3y?y(0)?1 (0?x?1)
8
5、已知
xi -2 -1 0 1 2 f(xi) 4 2 1 3 5 求f(x)的二次拟合曲线p2(x)，并求f?(0)的近似值。
6、已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表
xi 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 yi 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736
如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。
7、构造求解方程ex?10x?2?0的根的迭代格式
xn?1??(xn),n?0,1,2,?，讨论其收敛性，并将根求出来，
|xn?1?xn|?10?4。
9
??x1?2x2?3x3?14?2x1?5x 8﹑利用矩阵的LU分解法解方程组 ?2?2x3?18?3x1?x2?5x3?20。
.
??3x1?2x2?10x3?15?10x1?4x2?x3?5 9﹑对方程组 ??2x1?10x2?4x3?8
（1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；
（2） 取初值x(0)?(0,0,0)T，利用（1）中建立的迭代公式求
解，要求||x(k?1)?x(k)||??10?3。
10
10、已知下列实验数据
xi 1.36 1.95 2.16 f(xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
11、用列主元素消元法求解方程组
?1?1??5?4??21???x1???4?3??x????12???2??????x3????11??。 11
.
11
12、取节点x0?0,x1?0.5,x2?1,求函数f(x)?e?x在区间[0,1]上的
二次插值多项式P2(x),并估计误差。
13、用欧拉方法求
y(x)??x?t20edt在点x?0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。
12
14、给定方程f(x)?(x?1)ex?1?0
1) 分析该方程存在几个根；
2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；3) 说明所用的迭代格式是收敛的。
15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。
13
18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1，5)的近似值，取五位小数。
117、n=3,用复合梯形公式求?0exdx的近似值（取四位小数）,并求误
差估计。
??301??x1???1?31????5?????x2???1??1?14????x3??=???8??，
取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。
14
?y??x?y? 19、用预估—校正法求解?y(0)?1(0?x?1)，h=0。2，取两位小数。
21、（15分）用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算
?10e?xdx时，试用余项估计其误差。用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 2y?a?bx20、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据： 19 25 30 38 xi 19.0 32.3 49.0 73.3 yi
15
22、（15分）方程x3?x?1?0在x?1.5附近有根，把方程写成三种不同
的等价形式（1）x?3x?1对应迭代格式xn?1?3xn?1；(2)
x?1?1x对
x1n?1?1?应迭代格式xn；
（3）x?x3?1对应迭代格式x3n?1?xn?1。判断迭代格式在x0?1.5的收敛性，选一种收敛格式计算x?1.5附近的根，
精确到小数点后第三位。
23、（8分）已知方程组AX?f，其中
?43?A???34?1??24?f??30??????14??，?24?????
（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。
16
?dy???y?1?dx?24、1、（15分）取步长h?0.1，求解初值问题?y(0)?1用改进的欧拉
法求y(0.1)的值；用经典的四阶龙格—库塔法求y(0.1)的值。
25、数值积分公式形如
?xf(x)dx?S(x)?Af(0)?Bf(1)?Cf?(0)?Df?(1)试确定参数
014A,B,C,D使公式代数精度尽量高；（2）设f(x)?C[0,1]，推导余项公式
R(x)??10xf(x)dx?S(x)，并估计误差。
17
26、用二步法
27、（10分）已知数值积分公式为：
yn?1??0yn??1yn?1?h[?f(xn,yn)?(1??)f(xn?1,yn?1)]
?y??f(x,y)
?h0hf(x)dx?[f(0)?f(h)]??h2[f'(0)?f'(h)]2，试确定积分公式中
求解常微分方程的初值问题??y(x0)?y0时，如何选择参数
?0,?1,?使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此
时该方法是几阶的
的参数?，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。
18
28、（8分）已知求a(a?0)的迭代公式为：
29、（9分）数值求积公式
?303f(x)dx?[f(1)?f(2)]2是否为插值型求积公
x12(xa k?1?k?x)x0?0k?0,1,2?k
式？为什么？其代数精度是多少？
19
30、(6分)写出求方程4x?cos?x??1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式， 并证明其收敛性。
31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。
1sin?x?32、(10分)用复化Simpson公式计算积分
I??0xdx的
近似值，要求误差限为0.5?10?5。
20
33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：??x1?4x2?2x3?24?3x1?x2?5x?3?34 ?2x1?6x2?x3?27
??13??5??12????x1????34、(8分)求方程组 ???x?????2??11??2?1?? 的最小二乘解。
35、(8分)已知常微分方程的初值问题：
??dydx?xy,1?x?1.2 ?y(1)?2
21
用改进的Euler方法计算y(12.)的近似值，取步长h?0.2。
36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：?10xf?x?dx?A?1?0f??2???A1f?1?
?12?2???1?A???111?b??2?37、（15分）已知方程组Ax?b，其中???221??，???3??，
（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式； （2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；
22
??dy?dx?2x?y38、（10分）对于一阶微分方程初值问题??y(0)?1，取步长h?0.2，
分别用Euler预报－校正法和经典的四阶龙格—库塔法求y(0.2)的近似值。
yhn?1?yn?[?f(xn,y39、（10分）用二步法2n)??f(xn?1,yn?1)]求解一
??y??f(x,y)阶常微分方程初值问题?y(x0)?y0，问：如何选择参数?,?的值，才使
该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。
40、(10分)已知下列函数表：
x 0 1 2 3 f(x) 1 3 9 27 (1)写出相应的三次Lagrange插值多项式； (2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算
f(1.5)的近似
值。
23
??dy?dx?8?3y(x?0)41、(10分)取步长h?0.2，求解初值问题??y(0)?2，分别
用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求y(0.2)的近似值。
42、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积
?21分01?2x2dx的近似值（保留4位小数）。
24
43、(10分)已知方程组Ax?b，其中
?211??1?A???121?b??1??2????11?，???1??
(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。
??dy?dx?f(x,y)(c?x?d)44、(10分) 求参数a,b，使得计算初值问题??y(x0)?y0的
二步数值方法
yn?1?yn?h[af(xn,yn)?bf(xn?1,yn?1)]的阶数尽量高，并给出局部截断误差的主项。
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