即 |x n?a|?? ? 这就证明了limxn?a?

n??注意： 准则I?

如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件? (1) g(x)?f(x)?h(x)?

(2) lim g(x)?A? lim h(x)?A? 那么lim f(x)存在? 且lim f(x)?A?

注 如果上述极限过程是x?x0? 要求函数在x0的某一去心邻域内有定义? 上述极限过程是x??? 要求函数当|x|?M时有定义?

准则I 及准则I? 称为夹逼准则? 2、第一重要极限

下面根据准则I?证明第一个重要极限? lim 证明 首先注意到? 函数

sinx?1?

x?0xsinx对于一切x?0都有定义? 参看附图? 图中的圆为单位圆? BC?OA? DA?OA? 圆心角x? ??AOB?x (0?x?)? 显然 sin x?CB? x?AB? tan x?AD? 因为 2S?AOB?S扇形AOB?S?AOD ? 所以

B 1 O x C D 111sin x?x?tan x? 222即 sin x?x?tan x? 不等号各边都除以sin x? 就有

A 1?x?1? sinxcosx或 cosx?注意此不等式当?

简要证明? 参看附图? 设圆心角?AOB?x (0?x?sinx?1? xsinx?1 ??x?0时也成立? 而limcosx?1? 根据准则I?? lim? x?0x2x?0 ?)?

2sinx?1 (此不等式当x?0时也成立)? x 显然 BC? AB ?AD? 因此 sin x? x ? tan x? 从而 cosx?因为limcosx?1? 根据准则I?? limx?0sinx?1?

x?0x 应注意的问题? 在极限limsin?(x)sin?(x)中? 只要?(x)是无穷小? 就有lim?1?

?(x)?(x)sin?(x)?limsinu?1? u?0u?(x)这是因为? 令u??(x)? 则u ?0? 于是limsin?(x)limsinx?1? lim?1(?(x)?0)? x?0x?(x) 例1? 求limtanx?

x?0x 解? limtanx?limsinx?1?limsinx?lim1?1? x?0xx?0xcosxx?0xx?0cosx1?cosx?

x?0x2 例2? 求lim 解? lim1?cosx?limx?0x2x?02sin2xx2sin2?1lim2 2x2x?0x2()22?sinx??12??1?12?1? ?lim?2x?0?x?2?2?2?x1?sin2?lim?2x?0??x2?121???2?1?2? ?23、准则II 单调有界数列必有极限?

如果数列{x n}满足条件x 1?x 2?x 3? ? ? ? ?x n?x n?1? ? ? ??就称数列{x n}是单调增加的? 如果数列{x n}满足条件x 1?x 2?x 3? ? ? ? ?x n?x n?1? ? ? ??就称数列{x n}是单调减少的? 单调增加和单调减少数列统称为单调数列?

在第三节中曾证明? 收敛的数列一定有界? 但那时也曾指出? 有界的数列不一定收敛? 现在准则II表明? 如果数列不仅有界? 并且是单调的? 那么这数列的极限必定存在? 也就是这数列一定收敛? 准则II的几何解释?

单调增加数列的点只可能向右一个方向移动? 或者无限向右移动? 或者无限趋近于某一定点A? 而对有界数列只可能后者情况发生? 4、第二重要极限

根据准则II? 可以证明极限lim(1?)n存在?

n??1n 设xn?(1?)n? 现证明数列{xn}是单调有界的? 按牛顿二项公式? 有 xn?(1?)n?1??? ?1?1?1n1nn1n(n?1)1n(n?1)(n?2)1n(n?1) ? ? ? (n?n?1)1?2??3? ? ? ? ??n

1!n2!n3!nn!n11112112n?1(1?)?(1?)(1?)? ? ? ? ?(1?)(1?) ? ? ? (1?)? 2!n3!nnn!nnn11112112n?1(1?)?(1?)(1?)? ? ? ? ?(1?)(1?) ? ? ? (1?) 2!n?13!n?1n?1n!n?1n?1n?1 xn?1?1?1? ?112n(1?)(1?) ? ? ? (1?)? (n?1)!n?1n?1n?1比较x n ? x n?1的展开式? 可以看出除前两项外? x n的每一项都小于x n?1的对应项? 并且x n?1还多了最后一项? 其值大于0? 因此 x n ? x n?1 ?

这就是说数列{xn}是单调有界的?这个数列同时还是有界的? 因为xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替? 得

11111111nxn?1?1??? ? ? ? ?1?1??2? ? ? ? ?n?1?1?2?3?n?1?3?

12!3!n!22221?21?根据准则II? 数列{xn}必有极限? 这个极限我们用e 来表示? 即

lim(1?1)n?e? n??n 我们还可以证明lim(1?)x?e? e是个无理数? 它的值是e?2? 718281828459045? ? ??

x??1x指数函数y?e x 以及对数函数y?ln x 中的底e 就是这个常数? 在极限lim[1??(x)]?(x)中?

1只要?(x)是无穷小?

就有lim[1??(x)]?(x)11?e?

1? 则u ??? 于是lim[1??(x)]?(x)?lim(1?1)u?e? lim(1?1)x?e?

这是因为? 令u?u??x??ux?(x)lim[1??(x)]?(x)1?e(?(x)?0)?

1x 例3? 求lim(1?)x?

x?? 解? 令t??x? 则x ??时? t ??? 于是 lim(1?)x?lim(1?)?t?limx??t??1x1t1?1? t??(1?1)tet或 lim(1?)x?lim(1?x??x??1x1)?x(?1)?[lim(1?1)?x]?1?e?1?

x???x?x课后作业及小结： 1、学习了两个重要极限 2、了解单调有界准则 3、综合运用夹逼准则 作业：P38.1,2,3

第六节：无穷小与无穷大

1、无穷小

如果函数f(x)当x?x0(或x??)时的极限为零? 那么称函数f(x)为当x?x0(或x??)时的无穷小? 特别地? 以零为极限的数列{xn}称为n??时的无穷小? 例如? 因为lim11?0? 所以函数为当x??时的无穷小? x??xxx?1 因为lim(x?1)?0? 所以函数为x?1当x?1时的无穷小? 因为lim1?01? 所以数列{}为当n??时的无穷小?

n??n?1n?1讨论? 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？

提示? 无穷小是这样的函数? 在x?x0(或x??)的过程中? 极限为零? 很小很小的数只要它不是零? 作为常数函数在自变量的任何变化过程中? 其极限就是这个常数本身? 不会为零? 无穷小与函数极限的关系?

定理1 在自变量的同一变化过程x?x0(或x??)中? 函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)?A??? 其中?是无穷小?

证明? 设limf(x)?A? ?? ?0 ? ??? ?0? 使当0?|x?x0|???时? 有|f(x)?A|?? ?

x?x0 令??f(x)?A? 则?是x?x0时的无穷小? 且f(x)?A?? ? 这就证明了f(x)等于它的极限A与一个无穷小?之和? 反之? 设f(x)?A?? ? 其中A 是常数? ?是x?x0时的无穷小? 于是|f(x)?A|?|?|?

因?是x?x0时的无穷小? ?? ?0 ? ??? ?0? 使当0?|x?x0|???? 有|?|?? 或|f(x)?A|???这就证明了A 是f(x) 当? x?x0时的极限? 简要证明? 令??f(x)?A? 则|f(x)?A|?|?|?

如果?? ?0 ? ??? ?0? 使当0?|x?x0|???? 有f(x)?A|????????|?|?? ?

反之如果?? ?0 ? ??? ?0? 使当0?|x?x0|???? 有|?|?????????f(x)?A|?? ?

这就证明了如果A 是f(x) 当? x?x0时的极限? 则?是x?x0时的无穷小? 如果?是x?x0时的无穷小? 则A 是f(x) 当? x?x0时的极限? 类似地可证明x??时的情形?

1?x31111?x31???? 例如? 因为? 而lim3?0? 所以limx??2xx??2x32x322x322、无穷大

如果当x?x0(或x??)时? 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大? 就称函数 f(x)为当x?x0(或x??)时的无穷大? 记为

x?x0limf(x)??(或limf(x)??)?

x?? 应注意的问题? 当x?x0(或x??)时为无穷大的函数f(x)? 按函数极限定义来说? 极限是不存在的? 但为了便于叙述函数的这一性态? 我们也说“函数的极限是无穷大”? 并记作

x?x0limf(x)?? (或limf(x)??)?

x??讨论? 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大?

提示? limf(x)????M?0? ????0? 当0?|x?x0|???时? 有|f(x)|?M? 正无穷大与负无穷大?

x?x0 x?x0(x??)limf(x)???? limf(x)????

x?x0(x??) 例2 证明lim1???

x?1x?1 证 因为?M?0? ??? |所以lim1? 当0?|x?1|?? 时? 有 M1|?M? x?11???

x?1x?1 提示? 要使| 铅直渐近线?

111|??M? 只要|x?1|??

Mx?1|x?1|1的图形的x?1 如果limf(x)??? 则称直线x?x0是函数y?f(x)的图形的铅直渐近线? 例如? 直线x?1是函数y?x?x0铅直渐近线?

3、无穷小与无穷大的关系

定理 (无穷大与无穷小之间的关系) 在自变量的同一变化过程中? 如果f(x)为无穷大? 则为无穷小? 且f(x)?0? 则证明?

如果limf(x)?0? 且f(x)?0? 那么对于??x?x01为无穷小? 反之? 如果f(x)f(x)1为无穷大? f(x)11? ????0? 当0?|x?x0|???时? 有|f(x)|???? 由于当0?|x?x0|???时? MMf(x)?0? 从而

|所以

1|?M? f(x)111为x?x0时的无穷大? 如果limf(x)??? 那么对于M?? ????0?当0?|x?x0|???时? 有|f(x)|?M?? 即

x?x0??f(x)|1|??? 所以为x?x时的无穷小? f(x)