因不等式与不等式等价，故当n＞N时，所有的点xn都落在开区间(a-ε，a+ε)内，而只有有

限个(至多只有N个)在此区间以外。

注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。例：数列 1，-1，1，-1，…，(-1)，… 是有界的，但它是发散的。 3、数列极限的计算（课本例子）

n+1

课后作业及小结： 1、学习了数列极限概念 2、掌握数列极限运算方法。 作业：P15.2

第三节：函数极限的定义域计算

前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取 1→∞内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.

函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢 ?

下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念! 1、函数的极限(分两种情况) a):自变量趋向无穷大时函数的极限

定义：设函数y=f(x)，若对于任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在着正数X，使得对于适合不等式 所对应的函数值y=f(x)都满足不等式

的一切x，

那末常数A就叫做函数y=f(x)当x→∞时的极限，记作：下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下： 数列的极限的定义 函数的极限的定义 存在函数y=f(x)与常数A，任给一正数ε＞0，总可存在数列an=f(x)与常数A，任给一正数ε＞0，总可找到一正整数N，对于n＞N的所有an都满足x→∞时收敛于A记：。 ＜ε则称数列an，当找到一正数X，对于适合的一切x，都满足，函数y=f(x)当x→∞时的极限为A，记：。 从上表我们发现了什么 ？？试思考之

b):自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子. 例：函数

，当x→1时函数值的变化趋势如何？函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一

个有限的范围内，都有无穷多个点，为此我们把x→1时函数值的变化趋势用表列出,如下图:

注：在定义中为什么是在去心邻域内呢？这是因为我们只讨论x→x0的过程，与x=x0出的情况无关。此定义的核心问题是：对给出的ε，是否存在正数δ，使其在去心邻域内的x均满足不等式。

有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是怎样的呢？ a):先任取ε＞0； b):写出不等式

＜ε；

c):解不等式能否得出去心邻域0＜＜δ，若能；

d):则对于任给的ε＞0，总能找出δ，当0＜2、函数极限的运算规则

＜δ时，＜ε成立，因此

前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。

⑴、函数极限的运算规则 若已知x→x0(或x→∞)时，

.

则：

推论：

在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。

例题：求

解答：

例题：求

此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。

解答：

注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。

3、左右极限定义

定义：如果x仅从左侧(x＜x0)趋近x0时，函数f(x)与常量A无限接近，则称A为函数f(x)当

时的左极限.记：

如果x仅从右侧(x＞x0)趋近x0时，函数f(x)与常量A无限接近，则称A为函数f(x)当注：只有当x→x0时，函数f(x)的左、右极限存在且相等，方称f(x)在x→x0时有极限 课后作业及小结：

1、学习了函数数列极限概念 2、掌握函数数列极限运算方法。 作业：P23.1，2

时的右极限.记：

第四节：极限性质

1、数列极限的性质

定理1(极限的唯一性) 数列{xn}不能收敛于两个不同的极限? 证明? 假设同时有limxn?a及limxn?b? 且a

n??n??按极限的定义? 对于??因此同时有 xn?b?a>0? 存在充分大的正整数N? 使当n>N时? 同时有|x?a|

nn

222b?a及x?b?a? n22这是不可能的? 所以只能有a=b? 数列的有界性? 对于数列?xn}，如果存在着正数M，使得对一切xn都满足 不等式 |xn|?M?则称数列{xn}是有界的? 如果这样的正数M不存在，就说数列{xn}是无界的

定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛? 那么数列{xn}一定有界?

证明? 设数列{xn}收敛? 且收敛于a? 根据数列极限的定义? 对于? ?1? 存在正整数N? 使对于n>N 时的一切xn ? 不等式 |xn?a|N时?

|xn|?|(xn ?a)?a| ?| xn?a|?|a|<1?|a|?

取M?max{|x 1|? |x 2|? ? ? ?? |x N |? 1?| a |}? 那么数列{xn}中的一切xn都满足不等式|xn|? M? 这就证明了数列{xn}是有界的?

定理3（收敛数列的保号性) 如果数列{xn}收敛于a, 且a?0(或a?0)? 那么存在正整数N? 当n?N时? 有xn?0(或xn?0)? 证 就a?0的情形证明? 由数列极限的定义? 对??从而xn?a?aa?0, ?N?N?, 当n?N时? 有|xn?a|?? 22aa??0? 22推论 如果数列{xn}从某项起有xn?0(或xn?0)? 且数列{xn}收敛于a? 那么a?0(或a?0).

证明 就xn?0情形证明? 设数列{xn}从N1项起? 即当n?N 1时有xn?0? 现在用反证法证明? 或a?0? 则由定理3知? ?N 2?N?, 当n? N 2时? 有xn?0? 取N?max{ N 1? N 2 }? 当n?N时? 按假定有x n ?0? 按定理3有x n?0? 这引起矛盾? 所以必有a ?0. 子数列? 在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序? 这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列? 例如? 数列{xn}? 1? ?1? 1? ?1? ? ? ?? (?1)n?1? ? ?的一子数列为{x2n}? ?1? ?1? ?1? ? ? ?? (?1)2n?1? ? ? 定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn}收敛于a? 那么它的任一子数列也收敛? 且极限也是a ? 证明? 设数列{xnk}是数列{xn}的任一子数列?

因为数列{xn}收敛于a? 所以?? >0? ?N?N+? 当n?N时? 有|xn?a|?? ?取K?N? 则当k?K时? nk?k?K?N? 于是|xnk?a|?? ? 这就证明了limxnk?a?

k??2、函数极限的性质

定理1(函数极限的唯一性)如果极限limf(x)存在? 那么这极限唯一?

x?x0定理2(函数极限的局部有界性) 如果f(x)?A(x?x0)? 那么存在常数M?0和?? 使得当0?|x?x0|??时? 有|f(x)|?M? 证明 因为f(x)?A(x?x0)? 所以对于? ?1? ???0? 当0?|x?x0|??时? 有|f(x)?A|?? ?1?

于是 |f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?这就证明了在x0的去心邻域{x| 0?|x?x0|?? }内? f(x)是有界的?

定理3(函数极限的局部保号性) 如果f(x)?A(x?x0)? 而且A?0(或A?0)? 那么存在常数??0? 使当0?|x?x0|??时? 有f(x)?0(或f(x)?0)?

定理3? 如果f(x)?A(x?x0)(A?0)? 那么存在点x0的某一去心邻域? 在该邻域内? 有|f(x)|?|A|? 推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)?0(或f(x)?0)? 而且f(x)?A(x?x0)? 那么A?0(或A?0)?

证明? 设f(x)?0? 假设上述论断不成立? 即设A<0? 那么由定理1就有x0的某一去心邻域? 在该邻域内 f(x)?0? 这与f(x)?0的假定矛盾? 所以A?0?

定理4(函数极限与数列极限的关系)

如果当x?x0时f(x)的极限存在? {xn}为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列? 且满足xn ?x0(n?N?)? 那么相应的函数值数列{f(x n)}必收敛? 且limf(xn)?limf(x)?

n??x?x012证明 设f(x)?A(x?x0)? 则?? ?0? ?? ?0? 当0?|x?x0|????时? 有|f(x)?A|?? ? 又因为xn?x0(n??)? 故对? ?0? ?N?N?? 当n?N时? 有|xn?x0|?? ? 由假设? xn ?x0(n?N?)? 故当n?N时? 0?|x n?x 0|?? ? 从而|f(x n)?A|?? ? 即limf(xn)?limf(x)

n??x?x0课后作业及小结：

1、学习了极限的相关定理与函数列相关定理 作业：P30.8

第五节：两个重要的极限

1、准则I

如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件? (1)yn?xn?zn(n?1? 2? 3? ? ? ?)? (2)limyn?a? limzn?a?

n??n??那么数列{xn }的极限存在? 且limxn?a?

n??证明? 因为limyn?a? limzn?a? 以根据数列极限的定义? ?? ?0? ?N 1?0? 当n?N 1时? 有

n??n??|y n?a|?? ? 又?N 2?0? 当n?N 2时? 有|z n?a|?? ? 现取N?max{N 1? N 2}? 则当 n?N 时? 有 |y n?a|?? ? |z n?a|????同时成立? 即

a???yn?a?? ? a???z n?a?? ?

同时成立? 又因yn?xn?zn ? 所以当 n?N 时? 有 a???yn?x n?z n?a?? ?

即 |x n?a|?? ? 这就证明了limxn?a?

n?? 简要证明? 由条件(2)? ?? ?0? ?N ?0? 当n?N 时? 有 |y n?a|?? 及|z n?a|?? ? 即有 a???yn?a?? ? a???z n?a?? ? 由条件(1)? 有

a???y n?x n?z n?a?? ?