人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修

由题设：an?1?an??4，? an?an?1??4，an?1?an?2??4， ——累加法 an?2?an?3??4， a2?a1??4， 相加得:an?a1??4(n?1)， ?an?2?4(n?1).例3 已知a1?2,an?1?2an，求an. 解法一: 观察法

a1?2，a2?2?2?22，

a3?2?22?23，，

观察可得：an?2n.

解法二: 迭乘法

a ? an?2an?1,即n?2,an?1 anan?1an?2a2n?1

??????2,an?1an?2an?3a1n?1n ?an?a1?2?2.四、小结

1. 递推公式的概念.

2. 递推公式与数列的通项公式的区别是：

（1） 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相临两项（或n项）之间的关系.

（2） 对于通项公式，只要将公式中的n依次取1,2,3,4,?即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项（或前n项），才可依次求出其它项.

3．用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法. 五、课堂作业

1. 阅读教材第30-33页.

2. 第33—34页习题2.1A组第4、5、6题.

由an?1?2an,

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教案 B

第1课时

教学目标

一、知识与技能

理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.

二、过程与方法

通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．

三、情感、态度与价值观

通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣. 教学重点

数列及其有关概念，通项公式及其应用. 教学难点

根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式. 教学过程

一、课题导入

引导同学阅读课本第28页可得到 三角形数：1，3，6，10，… ……① 正方形数：1，4，9，16，25， ……②

又如一列数：1，1,1,1,1

2345……③

2，3，5，3，4，7 ……④ 二、讲授新课 ⒈ 数列的定义

按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

2. 数列的项

数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….

例如，上述例子均是数列，其中①中，“1”是这个数列的第1项（或首项），“6”是这个数列中的第3项.

3. 数列的一般形式 10

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a1,a2,a3,?,an,?，或简记为?an?，其中an是数列的第n项．

结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.

下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）？对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：

项 序号 1 1 1 22 1 33 1 44 1 55 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式an?1来表示其对应关系. n即只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项. 结合上述其他例子，练习找其对应关系. 4. 数列的通项公式

如果数列?an?的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； （2）一个数列的通项公式表达方式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…

1?(?1)n?1n?1它的通项公式可以是an?，也可以是an?|cosπ|.

22⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 n项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给定了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．

5. 数列与函数的关系

数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数

an?f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.

反过来，对于函数y=f（x），如果f（i）（i=1，2，3，4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f（1）、 f（2）、 f（3）、 f（4）…，f（n），…

6．数列的分类

（1）根据数列项数的多少分为：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列. 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列. （2）根据数列项的大小分为：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列. 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.

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常数数列：各项相等的数列.

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 观察：课本第28-29页的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？

例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）1,?111,,?; （2） 2，0，2，0． 234解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的的一个通项公式为

(?1)n?1 an?.

n（2） 这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为

an?(?1)n?1?1.

三、课堂练习

课本第31页练习第3、4题.

补充练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1） 3， 5， 9， 17， 33，……； （2）

426810， ， ， ， ， ……； 335639915 （3） 0， 1， 0， 1， 0， 1，……； （4） 1， 3， 3， 5， 5， 7， 7，

9， 9， ……；

（5） 2， －6， 12， －20， 30， －42，…….

1?(?1)n2n 解：（1） an＝2＋1； （2） an＝； （3） an＝；

2(2n?1)(2n?1)n

（4） 将数列变形为1＋0， 2＋1， 3＋0， 4＋1， 5＋0， 6＋1， 7＋0， 8＋1， ……，

1?(?1)n∴an＝n＋；

2（5） 将数列变形为1×2， －2×3， 3×4， －4×5， 5×6，……，

∴ an＝（－1）

n?1

n（n＋1）.

四、课时小结

本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式.

五、课后作业

课本第33页习题2.1A组 第1、2、3题． 12