人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修

3，3，3，3，…．

（4） 目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成数列（单位:元）

100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01． （5） -1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，……构成数列 -1，1，-1，1，….

（6） 2的精确到1，0.1，0.01，0.001，…，的不足近似值与过剩近似值分别构成数列

1，1.4，1.41，1.414，…； 2，1.5，1.42，1.415，…．

问题4：我们再观察上面6个数列，哪些数列的项与序号之间存在着必然的、内在的规律？能不能用数学式子把其中的规律表示出来（让学生自主探究，合作交流，教师适时指导）？

生1：数列（5）可用来an=（-1）n 表示． 生2：数列（1）可用来an=n-1表示． 生3：数列（3）可用来an=3表示． 从而引导学生得到数列的通项公式. 4.数列的通项公式

如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．记为f(n)?an（教师引导学生在函数观下理解数列的通项公式）.

问题5：所有数列都有通项公式吗？为什么？

生：有的数列没有通项公式，如数列（1）和数列（4）．这正如有的函数没有解析式一样．

5.数列的图象

师生互动作出上述数列（1）、（3）、（5）的图象． （实物投影学生的答案）

问题6：通过作这两个数列的图象，你发现了什么？ 生1：数列的图象是一群孤立的点．

师：仅仅是一些孤立的点吗？你有没有发现这些孤立的点的位置特征？

生2：数列（1）表示的点在函数y=x-1的图象上，数列（3）表示的点在函数y=3的图象上.

四、拓展创新，应用提高

例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

111 （1）1，?，，?; （2） 2，0，2，0．

234解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的的一个通项公式为

5

教师备课系统──多媒体教案

(?1)n?1 an?.

n（2） 这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为

an?(?1)n?1?1.

2345例2 写出数列1，，，，.....的一个通项公式，并判断它的增减性.

471013n，

3n?2nn?1?2?? an?an?1?.

3n?23(n?1)?2(3n?2)(3n?5) 当n≥2时，an?an?1?0，所以这个数列是递减数列.

解：一个通项公式为an?思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列前几项写出的通项公式唯一吗？

例3 根据下面数列?an?的通项公式，写出前五项：

n； （2）an?(?1)nn． n?112345解： （1） a1=，a2=，a3=，a4=，a5=.

23456（1）an?（2） a1=-1，a2=2，a3=-3，a4=4，a5=-5.

五、小结

数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.

第2课时

教学目标

一、知识与技能

1. 理解数列的概念及其表示.

2. 掌握数列的通项公式与递推公式. 二、过程与方法

1. 通过研究数列的本质属性，学会通过找差异、找联系的方法认识问题. 2. 在数列概念、公式的应用中，学习思考和解决问题. 三、情感、态度与价值观

通过本节知识与技能、过程与方法的学习经历，感受数学发现的愉快，体验解决问题成功的快乐. 教学重点和难点

教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项. 教学难点：理解递推公式与通项公式的关系. 6

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教学关键：由数列的递推公式写出数列的通项公式.

教学突破方法：利用计算机辅助教学，通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，提高学生的学习数学兴趣. 教法与学法导航

教学方法

采用点拨引导、自主探究”的教学方法.通过教师点拨引导，学生自主探究，学会用找差异、找联系的方法去认识问题，学会从大量实例中提炼数学定义，学会数学问题的思考和解决.

学习方法

学生通过阅读与思考，了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式，递推公式与通项公式的关系. 教学准备

教师准备：多媒体、投影仪、直尺等. 学生准备：笔记本. 教学过程

一、创设情境，导入新课

1. 在以下四个数中，是数列?n(n?1)?中的一项的是 （ ）. A. 380 B. 39 C. 32 D. 18 参考答案：A

2. 设数列为2,5,22,11,?则42是该数列的 （ ）. A. 第9项 B. 第10项 C. 第11项 D. 第12项 参考答案：C

3. 数列1，?2， 3 ，?4 5，的一个通项公式为an?(?1)n?1n．

4. 图1中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形，在图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.

图1

教师借助多媒体动画演示，师生共同探讨数列的特征，并得到通项公式.

解：如图，这四个三角形中着色三角形的个数依次为1，3，9，27. 则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是

an=3n-1.

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二、主题探究，合作交流

1. 观察以下数列，并写出其通项公式：

(1)1,3,5,7,9,11,? 答：an?2n?1； (2)0,?2,?4,?6,?8,? 答：an??2(n?1)； (3)3,9,27,81,? 答：an?3n． 思考：除了用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？

(1)a1?1,a2?3?1?2?a1?2,a3?5?a2?2,?,an?an?1?2； (2)a1?0,an?an?1?2； (3)a1?3,an?3an?1．

2. 定义：

已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式. 练习: 运用递推公式确定一个数列的通项： （1）2，3，4，11，… 答： a1?2,an?an?1?3(n?2)； (2)1,1,2,3,5,8,13,21,? 答： a1?1,a2?1,an?an?1?an?2(n?3)．

三、拓展创新，应用提高

例1 已知数列{an}的第一项是1，以后的各项由公式an?1?数列的前五项．

解:据题意可知：

1an?1给出，写出这个

a1?1,a2?1?158112?2,a3?1??，a4?1??,a5?.

a335a1a23 例2 已知a1?2,an?1?an?4，求an.

解法一:可以写出a1?2,a2??2,a3??6,a4??10,,观察可得：

an?2?(n?1)(?4)?2?4(n?1) ——观察法 解法二: 8