2. △非齐次线性方程组的解的结构
第四章
一、 教学目标
矩阵
1. 熟练掌握矩阵的各种运算，特别要理解矩阵乘法运算的不可交换性，有零因子，不满足消去律等特点。
2. 掌握矩阵乘积的行列式与因子的行列式、矩阵乘积的秩与因子的秩之间的关系。 3. 理解矩阵的等价（即相抵）与等价标准形、可逆矩阵与逆矩阵、初等矩阵等概念，牢固掌握可逆矩阵的几种常用的等价刻划，熟练掌握求逆矩阵的两种方法。掌握初等矩阵与初等变换之间的“左行右列”规则。
4. 初步掌握矩阵分块的原则、技巧及运算。理解广义初等变换和广义初等矩阵的概念，掌握广义初等变换与广义初等矩阵的“左行右列”规则。
二、 教学内容
第一节 矩阵的概念和运算
1. 矩阵的有关概念
2. △矩阵的运算和算律，矩阵的多项式 3. △矩阵的转置及性质
4. 对角矩阵，数量矩阵、上（下）三角阵、对称矩阵、反对称矩阵
第二节 矩阵乘积的行列式和秩
1. △矩阵乘积的行列式 2. △〇矩阵乘积的秩
第三节 可逆矩阵
1. △可逆矩阵的定义及简单性质 2. △矩阵的等价及等价标准形
3. △初等矩阵，初等变换与初等矩阵的关系 4. △〇矩阵可逆的充要条件 5. △求逆矩阵的两种方法 6. Gramer法则的矩阵形式
第四节 矩阵的分块
1. 分块矩阵的概念 2. 分块矩阵的运算
3. 准对角矩阵的概念及有关性质
第五节 分块乘法的初等变换及应用举例
1. 广义初等变换 2. 广义初等矩阵 3. △广义初等矩阵的应用
第五章 二次型
一、 教学目标
1. 了解二次型的来源，掌握二次型的一般表示、对称写法、矩阵表示，理解二次型的有关概念，如二次型的矩阵、二次型的秩等。
2. 理解二次型的标准形的意义，熟练掌握在数域P上化二次型为标准形的方法：配方法和合同变换法。
3. 熟练掌握化复二次型、实二次型为规范形的方法，理解规范形的唯一性，理解实二次型的秩，正、负惯性指数，符号差等概念；掌握复二次型（复对称矩阵）、实二次型（实对称矩阵）等价（合同）的充要条件；初步理解复二次型、实二次型按等价分类（复对称矩阵、实对称矩阵按合同分类）的概念。
4. 理解正定二次型、正定矩阵的概念，掌握判定实二次型（实对称矩阵）正定性的判别方法，特别是顺序主子式判别法。
二、 教学内容
第一节 二次型的矩阵表示
1. 二次型的矩阵及矩阵表示，二次型的秩 2. 〇二次型的非退化线性替换与二次型的等价 3. 合同矩阵
第二节 二次型的标准形
1. 二次型的标准形
2. △数域P上任一n元二次型都可以经过非退化线性替换变成标准形
△数域P上任一n阶对称矩阵都合同于一对角阵 3. △配方法化二次型为标准形 4. △初等变换法化二次型为标准形
第三节 复二次型和实二次型的规范形
1. 复数域上对称矩阵（二次型）合同（等价）规范标准形（规范形）的存在唯一性 2. △复数域上对称矩阵（二次型）合同（等价）的充要条件
3. △〇实数域上对称矩阵（二次型）合同（等价）规范标准形（规范形）的存在唯一性
4. 实数域上对称矩阵（二次型）的惯性指标和符号差 5. △〇实数域上对称矩阵（二次型）合同（等价）的充要条件
第四节 正定二次型
1. 正定二次型的定义
2. △〇实二次型为正定二次型的判定条件
第六章
一、 教学目标
1. 初步了解代数运算的概念。
线性空间
2. 理解线性空间的概念及有关概念：线性相关、线性无关、维数、基、坐标、子空间、子空间的交与和、子空间的直和、余子空间等等。
3. 掌握线性空间的简单性质，基变换和坐标变换；已知一个向量在一个基下的坐标，会求它在另一个基下的坐标。
4. 掌握子空间的判别法，理解生成子空间的概念并掌握生成子空间的集合形式；掌握两个生成子空间相等的条件，生成子空间的基、维数的求法。
5. 掌握维数公式及其证明方法并能灵活应用；掌握常用的几个子空间直和的判别法。 6. 理解线性空间的同构映射和线性空间同构的概念，掌握同构映射的基本性质，理解维数是有限维线性空间的唯一的数量特征。掌握数域P上两个有限维线性空间同构的条件。
二、 教学内容
第一节 线性空间的定义与简单性质
1. 线性空间的定义 2. 线性空间的基本性质
第二节 维数、基与坐标
1. △〇向量组的线性相关性
1） 向量的线性组合（线性表示）及其性质 2） 向量组的线性相关和线性无关的定义及性质 3） 向量组的等价，极大线性无关组 4） *替换定理及其推论 2. △基与维数的定义及性质 3. △基的过渡矩阵及其性质 4. 向量的坐标，坐标变换公式
第三节 线性子空间
1. △子空间的定义和判别条件 2. △子空间的交与和
3. △〇有限维子空间的交与和的维数公式
4. △〇子空间的直和、余子空间，余子空间的存在性
第四节 线性空间的同构
1. 〇同构的定义及简单性质 2. 〇有限维线性空间同构的充要条件
第七章
一、 教学目标
线性变换
1. 理解线性变换的概念，掌握线性变换的基本性质。
2. 掌握线性变换的运算，理解数域P上线性空间的线性变换作成的集合关于线性变换的加法和数量乘法运算作成数域P上的线性空间。
3. 理解可逆变换的概念，掌握其常用的判别法。
4. 理解线性变换的矩阵的概念和线性变换与矩阵的紧密联系，掌握利用矩阵计算一个向量在线性变换之下的象，理解线性变换在不同基下的矩阵是相似的，而两个相似的矩阵可以看成同一线性变换在某两个基下的矩阵。
5. 理解线性变换的特征值与特征向量的概念和n阶方阵的特征多项式、特征值与特征向量的概念，掌握有限维线性空间的线性变换的特征值、特征向量的求法。掌握n阶方阵的特征多项式的结构定理及哈密顿—凯莱定理的结论。
6. 掌握n维线性空间V的一个线性变换可对角化的一些充分条件与充要条件，在满足可对角化时能将矩阵化成对角形。
7. 理解线性变换的值域、核、秩和零度等概念，掌握以下性质： 1） 值域由基象组线性生成；
2） 值域的维数等于线性变换的秩也等于其矩阵的秩；
3） 有限维线性空间的线性变换的秩与零度之和等于这个线性空间的维数；
4） 有限维线性空间的一个线性变换是映上的（满射）充要条件是这个线性变换是一一的（单射）。
8. 理解不变子空间的定义，掌握关于不变子空间的常用的简单事实，理解线性变换在其不变子空间上的导出变换的概念，了解线性空间关于一个线性变换分解成不变子空间的直和与这个线性变换的矩阵的化简之间的关系，初步掌握按线性变换的特征值将空间分解成不变子空间的直和的事实。
9. 理解若当标准形的概念，掌握线性变换矩阵的若当标准形定理的结论。 10. 掌握最小多项式的概念及性质，掌握矩阵可对角化的充要条件。 二、 教学内容
第一节 线性变换的定义
1. △线性变换的定义 2. 线性变换的简单性质
第二节 线性变换的运算
1. 加法与数量乘法及其算律
2. △〇乘法及其算律，线性变换的多项式 3. 〇可逆线性变换及其逆变换
第三节 线性变换的矩阵
1. △线性变换的矩阵 2. 向量的象的坐标公式
3. △〇线性变换与矩阵的同构对应
4. △〇线性变换在不同基下的矩阵，相似矩阵
第四节 特征值与特征向量
1. △特征值、特征向量和特征多项式的定义和求法 2. △矩阵的秩和行列式与特征值的关系 3. 相似矩阵的特征多项式
第五节 对角矩阵
1. △属于不同特征值的特征向量的线性无关性 2. 〇特征子空间的维数与所属特征值的重数的关系 3. △〇线性变换和矩阵可对角化的条件