X设X的分布律为P012,其分布函数F(x),则0.30.50.2F(1.5)____.
答0.8.
三、综合题
1、已知P(A)?0.5, P(AB)?0.2, P(B)?0.4, 求
(1) P(AB); (2) P(A?B); (3) P(A?B); (4) P(AB).
解 (1) 因为AB?AB?B, 且AB与AB是不相容的, 故有P(AB)?P(AB)?P(B) 于是P(AB)?P(B)?P(AB)?0.4?0.2?0.2;
(2) P(A)?1?P(A)?1?0.5?0.5,
P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.5?0.2?0.3;
(3) P(A?B)?p(A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.4?0.2?0.7;
(4) P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?0.7?0.3.
2、某城市中发行2种报纸A, B. 经调查, 在这2种报纸的订户中, 订阅A报的有45%,订阅B报的有35%, 同时订阅2种报纸A, B的有10%. 求只订一种报纸的概率a.（
解 记事A?{订阅A报},B?{订阅B报}, 则
{只订一种报}?(A?B)?(B?A)?AB?BA,
又这两件事是互不相容的, 由概率加法公式及性质4, 有
??P(A?AB)?P(B?AB)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.45?0.1?0.35?0.1=0.6. 3、将标号为1, 2, 3, 4的四个球随意地排成一行, 求下列各事件的概率:
(1) 各球自左至右或自右至左恰好排成1, 2, 3, 4的顺序; (2) 第1号球排在最右边或最左边; (3) 第1号球与第2号球相邻;
(4) 第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻).
解 将4个球随意地排成一行有4!=24种排法, 即基本事件总数为24. 记(1), (2),(3), (4)的事件分别为A,B,C,D.
(1) A中有两种排法,故有P(A)?21?. 2412121?. 242(3) 先将第1,2号球排在任意相邻两个位置, 共有2?3种排法, 其余两个球可在其余两个位置任意排放, 共有2! 种排法, 因而C有2?3?2?12种排法, 故P(C)?12/24?1/2.
(2) B中有2?(3!)?12种排法, 故有P(B)?(4) 第1号球排在第2号球的右边的每一种排法, 交换第1号球和第2号球的位置便对应于第1号球排在第2号球的左边的一种排法, 反之亦然.
因而第1号球排在第2号球的右边与第1号球排在第2号球的左边的排法种数相同, 各占总排法数的1/2, 故有P(D)?1/2.
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4、设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件,
(1) 求取到的是次品的概率;
(2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.
解 记事件A1:“该产品是次品”, 事件A2:“该产品为乙厂生产的”, 事件A3:“该产品为丙厂生产的”, 事件B:“该产品是次品”. 由题设, 知
P(A1)?45%,P(A2)?35%,P(A3)?20%,P(B|A1)?4%,P(B|A2)?2%,P(B|A3)?5%,
(1) 由全概率公式得P(B)??P(A)P(B|A)?3.5%.
iii?13(2) 由贝叶斯公式(或条件概率定义), 得
P(A1B)P(A1)P(B|A1)P(A1|B)???51.4%.
P(B)P(B)5、8支步枪中有5支已校准过，3支未校准. 一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概
率为0.8; 用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3. 现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，求所用的枪是校准过的概率.
解 设B1?{使用的枪校准过}, B2?{使用的枪未校准}, A?{射击时中靶},则B1,B2是
53?的一个划分, 且P(B1)?,P(B2)?,P(A|B1)?0.8,P(A|B2)?0.3.
88P(A|B1)P(B1)40由贝叶斯公式, 得 P(B1|A)??.
P(A|B1)P(B1)?P(A|B2)P(B2)49这样, 所用的枪是校准过的概率为
40. 496、假设某地区成年男性的身高(单位: 厘米)X~N(170,7.692), 求该地区成年男性的身高超过175厘米的概率.（??0.65?0.7422?）
解 根据假设X~N(170,7.692),且{X?175}表示该地区成年男性的身高超过175厘米，可得
5?P{175?X??}?1?P{X?17}5 P{X?17} ?1????175?170???1??(0.65)
?7.69? ?1?0.7422?0.2578.
即该地区成年男性身高超过175厘米的概率为0.2578.
7、设某项竞赛成绩X~N(65, 100)，若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应 定为多少？
解 设获奖分数线为x0, 则求使P{X?x0}?0.1成立的x0.
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?x?65?P{X?x0}?1?P{X?x0}?1?F(x0)?1???0??0.1,
10??x?65?x?65?即??0?1.29, 解得x0?77.9, 故分数线可定为78分. ??0.9, 查表得01010??8设随机变量?X,Y?的概率密度为
?Ax,0?x?1,0?y?x f?x,y???
0,其它?11??求（1）A；（2）P?X?,Y??。
22??8、解： （1）由??????????f?x,y?dxdy?1可得，
1x10 ?dx?Axdy?1 即
A?1,A?3 31?=?2?1（2）P?X?,Y??2??112dx?3xdy
03 ?9 169、某公共汽车站从上午7时起, 每15分钟来一班车, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.
解 以7:00为起点0, 以分为单位, 依题意
?1?,0?x?30 X~U(0,30),f(x)??30?其它?0,为使候车时间X少于5分钟, 乘客必须在7:10到7:15之间, 或在7:25到7:30之间到达
车站, 故所求概率为
P{10?X?15}?P{25?X?30}??1dx?103015?11dx? 2530330即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.
·10、某元件的寿命X服从指数分布, 已知其参数??1/1000, 求3个这样的元件使用1000小时, 至少已有一个损坏的概率.
解 由题设知, X的分布函数为
x??1?e?1000,x?0F(x)??.
?0,x?0?由此得到
P{X?1000}?F?1000??1?e?1
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各元件的寿命是否超过1000小时是独立的, 用Y表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数, 则Y~b(3,1?e?1). 所求概率为
0(1?e?1)0(e?1)3?1?e?3. P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?C311、设随机变量X和Y具有联合概率密度
?6,x2?y?x f(x,y)??
0,其它?求边缘概率密度fX(x),fY(y).
解
fX(x)????????f(x,y)dy?????x2x6dy?6(x?x2),0?x?1,
0,其它y1y?x2O1y?x?y?fY?(y)?f(x,y)dx??y6dx?6(y?y),0?y?1.
???0,其它?12、设X与Y的联合概率分布为 Y 0 2 ?1 X
0 0.1 0.2 0
1 0.3 0.05 0.1
2 0.15 0 0.1
(1) 求Y?0时, X的条件概率分布; (2) 判断X与Y是否相互独立? （3）求F(0,0).
解 (1) P{Y?0}?0.2?0.05?0?0.25,
????x在Y?0时, X的条件概率分布为
P{X?0|Y?0}?P{X?1|Y?0}?P{X?0,Y?0}0.2??0.8,
P{Y?0}0.25P{X?1,Y?0}0.05??0.2,
P{Y?0}0.25P{X?2,Y?0}0??0,
P{Y?0}0.25P{X?2|Y?0}? (2) 因P{X?0}?0.3,P{Y??1}?0.1?0.3?0.15?0.55,
而P{X?0,Y??1}?0.1, 即P{X?0,Y??1}?P{X?0}P{Y??1} 所以, X与Y不独立.
(3)F(0,0)?P{X?0,Y?0}?P{X?0,Y??1}?0.2?0.1?0.3. 13、已知离散型随机向量(X,Y)的概率分布为
Y ?1 X 0 0.1 0 0.2 2 0 16