1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设方程x?yy确定y是x的函数,则dy?___________. (2) 设xf(x)dx?arcsinx?C,则

??1dx?___________.. f(x)(3) 设?x0,y0?是抛物线y?ax2?bx?c上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________. (4) 设

11?1?aa2a3?122A??a12a2a3??n?1n?1n?1?a2a3?a1其中ai?aj(i?j;i,j?1,2,1??x1??1??x??1?an???2???2an?,X??x3?,B??1?,

??????????n?1???an??1???xn??,n).则线性方程组ATX?B的解是___________. (5) 设由来自正态总体X~N(?,0.92)容量为9的简单随机样本,得样本均值X?5,则未

知参数?的置信度为0.95的置信区间为___________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

?(1) 累次积分 (A) (C)

1?20d??y?y2cos?0f(rcos?,rsin?)rdr可以写成 ( )

11?y200x?x2?dy?001f(x,y)dx (B) ?dy?10f(x,y)dx

?dx?0?10f(x,y)dy (D) ?dx???0f(x,y)dy

(2) 下述各选项正确的是 ( ) (A) 若

?un?12n和

?vn?12n都收敛,则

?(un?12nn?vn)2收敛

(B)

?uvn?1?nn收敛,则

?un?1?2n与

?vn?1?都收敛

(C) 若正项级数

?un?1?n发散,则un?1 n 1

(D) 若级数

?un?1?n收敛,且un?vn(n?1,2,?

),则级数?vn也收敛

n?1?(3) 设n阶矩阵A非奇异(n?2),A是矩阵A的伴随矩阵,则 ( )

?? (A) (A)?An?1A (B) (A?)??AA (D) (A?)??An?1A A

?? (C) (A)?An?2n?2(4) 设有任意两个n维向量组?1,和k1,,?m和?1,,?m,若存在两组不全为零的数?1,,?m

,km,使(?1?k1)?1??(?m?km)?m?(?1?k1)?1??(?m?km)?m?0,则

( )

(A) ?1, (B) ?1,,?m和?1,,?m和?1,,?m都线性相关 ,?m都线性无关

,?m??m线性无关 ,?m??m线性相关

(C) ?1??1, (D) ?1??1,,?m??m,?1??1,,?m??m,?1??1,(5) 已知0?P(B)?1且P[?A1?A2?B]?P(A1B)?P(A2B),则下列选项成立的是( ) (A) P[?A1?A2?B]?P(A1B)?P(A2B) (B) P?A1B?A2B??P(A1B)?P(A2B) (C) P?A1?A2??P(A1B)?P(A2B) (D) P?B??P?A1?P(BA1)?P(A2)P(BA2)

三、(本题满分6分)

?g(x)?e?x,x?0,? 设f(x)??其中g(x)有二阶连续导数,且g(0)?1,g?(0)??1. x?0,x?0,?(1)求f?(x)；

(2)讨论f?(x)在(??,??)上的连续性.

四、(本题满分6分)

2

设函数z?f(u),方程u??(u)??xyp(t)dt确定u是x,y的函数,其中f(u),?(u)可

?z?z?p(x). ?x?y微；p(t),??(u)连续,且??(u)?1.求p(y)

五、(本题满分6分)

计算

???0xe?xdx.

(1?e?x)2

六、(本题满分5分)

设f(x)在区间[0,1]上可微,且满足条件f(1)?2?120xf(x)dx.试证:存在??(0,1)使

f(?)??f?(?)?0.

七、(本题满分6分)

设某种商品的单价为p时,售出的商品数量Q可以表示成Q?a?c,其中a、b、 p?bc均为正数,且a?bc.

(1) 求p在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.

(2) 要使销售额最大,商品单价p应取何值?最大销售额是多少?

八、(本题满分6分)

dyy?x2?y2求微分方程的通解. ?dxx

九、(本题满分8分)

?0?1设矩阵A???0??010?000??. 0y1??012?0(1) 已知A的一个特征值为3,试求y； (2) 求矩阵P,使(AP)(AP)为对角矩阵.

十、(本题满分8分)

设向量?1,?2,T,?t是齐次线性方程组AX?0的一个基础解系,向量?不是方程组

3

AX?0的解,即A??0.试证明:向量组?,???1,???2,,???t线性无关.

十一、(本题满分7分)

假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?

十二、(本题满分6分)

考虑一元二次方程x?Bx?C?0,其中B、C分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p和有重根的概率q.

十三、(本题满分6分)

假设X1,X2,2,Xn是来自总体X的简单随机样本；已知EXk?ak(k?1,2,3,4).

1n2证明：当n充分大时,随机变量Zn??Xi近似服从正态分布,并指出其分布参数.

ni?1

4