2019年河北省保定市高考数学二模试卷(理科) 下载本文

【分析】(1)推导出BC⊥SD,BC⊥CD,从而BC⊥平面SDC,进而AD⊥平面SDC,SC⊥AD,SC⊥SD,由此能证明SC⊥平面SAD.

(2)作SO⊥CD于O,以点O为原点,建立坐标系,利用向量法能求出平面SEC与平面SBC所成的二面角的正弦值.

【解答】证明:(1)∵BC⊥SD,BC⊥CD, ∴BC⊥平面SDC,∴AD⊥平面SDC,∴SC⊥AD, 又在△SDC中,SC=SD=2,DC=AB=∴SC+SD=DC,∴SC⊥SD, ∵AD∩SD=D,∴SC⊥平面SAD.

解:(2)作SO⊥CD于O,∵BC⊥平面SDC, ∴平面ABCD⊥平面SDC,∴SO⊥平面ABCD 以点O为原点,建立坐标系如图, 则S(0,0,

),C(0,

,0),A(2,﹣

,∴

,即E((2,

,0),

设平面SEC的法向量=(x,y,z),平面SBC的法向量=(a,b,c),

,0),B(2,

,0)

2

2

2

设E((2,y,0),∵∴

则,∴,取z=3,得=(2,3,3),

,∴,取z=1,得=(0,1,1),

∴,

∴平面SEC与平面SBC所成的二面角的正弦值为

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【点评】本题考查线面垂直的证明,考查二面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题. 19.(12分)某次招聘分为笔试和面试两个环节,且只有笔试过关者方可进入面试环节,笔试与面试都过关才会被录用.笔试需考完全部三科,且至少有两科优秀才算笔试过关,面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关,假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为,面试两科每科优秀的概率均为 (1)求该考生被录用的概率;

(2)设该考生在此次招聘活动中考试的科目总数为ξ,求ξ的分布列与数学期望. 【分析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算;

(2)ξ的取值有3,5,求出各自的概率得出分布列和数学期望. 【解答】解:(1)该考生被录用,说明该考生笔试与面试均得以过关. 所以P=

(2)易得ξ的可能取值为3,5. P(ξ=3)=ξ P ∴

3 5 .

【点评】本题考查了相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量的分别列与数学期望,属于中档题.

20.(12分)已知抛物线E:y=8x,直线l:y=kx﹣4. (1)若直线l与抛物线E相切,求直线l的方程;

(2)设Q(4,0),直线l与抛物线E交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),若存在点C,满足

2

,且线段OC与AB互相平分(O为原点),求x2的取

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值范围.

【分析】(1)联立方程组,令判别式等于0求出k的值;

(2)根据根与系数的关系和四边形OACB为平行四边形求出C点坐标,根据CQ⊥AC列方程得出x2关于k的函数,根据k的范围得出x2的范围. 【解答】解:(1)由

2

得kx﹣8(k+1)x+16=0,

2

22

显然k≠0,△=64(k+1)﹣64k=0,解得k=﹣. 所以,直线l的方程为:

22

(2)由得kx﹣8(k+1)x+16=0,

2

2

∵△=64(k+1)﹣64k>0,且k≠0,∴∴

,且k≠0. ,

因为线段OC与AB互相平分,所以四边形OACB为平行四边形, ∴由

所以kAC?kQC═﹣1

得,AC⊥QC,

,即C

又kQC=

,,

所以若k>0,则∴0<x2≤4(若﹣<k<0,

=k++2≥2﹣1).

,所以

+2,当且仅当k=

时取等号,

=k++2≤﹣2

+2<0,故x2<0,不符合题意.

综上,x2的范围是(0,4(

﹣1)].

【点评】本题考查了抛物线的性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题. 21.(12分)已知函数f(x)=xlnx+ax+1﹣a. (1)求证:对任意实数a,都有[f(x)]min≤1;

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(2)若a=2,是否存在整数k,使得在x∈(2,+∞)上,恒有f(x)>(k+1)x﹣2k﹣1成立?若存在,请求出k的最大值;若不存在,请说明理由.(e=2.71828…) 【分析】(1)利用导数可得[f(x)]min=f(e令t(a)=[f(x)]min,则由t'(a)=﹣1+e=1,即结论成立.

(2)法1:由题设化简可得k则

8<x0<9,且lnx0=

,令h(x)=

﹣(a+1)

)=1﹣a﹣e

﹣(a+1)

﹣(a+1)

=0得[t(a)]max=t(﹣1)=1+1﹣1

,令g(x)=x﹣4﹣2lnx.设x﹣4﹣2lnx=0并记其零点为x0,故.

可得h(x)(x0)=min=h

=,即,可得k的最大值为4.

法2:由题设化简可得x+xlnx>k(x﹣2)

令t(x)=xlnx+(1﹣k)x+2k,所以t'(x)=lnx+2﹣k 由t'(x)=lnx+2﹣k=0得x=e①若e

k﹣2

k﹣2

.分以下情况讨论:

≤2,②若e

k﹣2

>2,

【解答】解:(1)证明:由已知易得f(x)=a(x﹣1)+xlnx+1,所以f'(x)=a+1+lnx 令f'(x)=a+1+lnx=0得,x=e显然,x∈(0,e

﹣(a+1)

﹣(a+1)

﹣(a+1)

)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;x∈(e,+∞)时,

f'(x)>0,函数f(x)单调递增 所以[f(x)]min=f(e

﹣(a+1)

)=1﹣a﹣e

﹣(a+1)

=0得a=﹣1a∈(﹣∞,﹣1)时,t'

令t(a)=[f(x)]min,则由t'(a)=﹣1+e

﹣(a+1)

(a)>0,函数t(a)单调递增;a∈(﹣1,+∞)时,t'(a)<0,函数t(a)单调递减 所以[t(a)]max=t(﹣1)=1+1﹣1=1,即结论成立. (2)法1:由题设化简可得k则

,令h(x)=

令g(x)=x﹣4﹣2lnx. 又

,∴x>2时,g'(x)>0,即g(x)单调递增,

4

2

5

2

∵g(8)=4﹣2ln8=lne﹣ln8<0,g(9)=5﹣2ln9=lne﹣ln9>0.

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