（1）由题意知：f?x?定义域为：??1,???且f??x??cosx?令g?x??cosx?1 x?1???1，x???1,? x?12??1?g??x???sinx?1?x?1?2，x???1,????? 2??x?1?2111???????,在??1,在??1,?上单调递减，??上单调递减
22aa7????n?1n??????g??x?在??1,?上单调递减
2又g??0???sin0?1?1?0，g?????sin?22??????4???2?2?4???2?2?1?0
?????x0??0,?，使得g??x0??0
?2?????当x???1,x0?时，g??x??0；x??x0,?时，g??x??0
2??即g?x?在??1,x0?上单调递增；在?x0,则x?x0为g?x?唯一的极大值点
?????上单调递减 2????即：f??x?在区间??1,?上存在唯一的极大值点x0.
?2?（2）由（1）知：f??x??cosx?1，x???1,??? x?1①当x???1,0?时，由（1）可知f??x?在??1,0?上单调递增
?f??x??f??0??0 ?f?x?在??1,0?上单调递减
又f?0??0
?x?0为f?x?在??1,0?上的唯一零点
???????fxx?0,??0,x②当时，在(0)上单调递增，在?x0,?上单调递减 ??2???2?21
又f??0??0 ?f??x0??0
?f?x?在(0,x0)上单调递增，此时f?x??f?0??0，不存在零点
又f???22????cos????0 ?22??2??2???????x1??x0,?，使得f??x1??0
2???f?x?在?x0,x1?上单调递增，在?x1,?上单调递减
????2??2e??????f?sin?ln1??ln?ln1?0 又f?x0??f?0??0，????2??2?2??2?????f?x??0在?x0,?上恒成立，此时不存在零点
2??③当x?????,??时，sinx单调递减，?ln?x?1?单调递减 ?2?????f?x?在?,??上单调递减
?2?又f??????0，f????sin??ln???1???ln???1??0 2??即f????f????????0fx，又在???2,??上单调递减 ????2?????f?x?在?,??上存在唯一零点
?2?④当x???,???时，sinx???1,1?，ln?x?1??ln???1??lne?1
?sinx?ln?x?1??0
即f?x?在
??,???上不存在零点
综上所述：f?x?有且仅有2个零点 【点睛】
本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的
22
关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可. 21．（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）p4?【解析】 【分析】
（1）首先确定X所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出a,b,c的取值，可得
1. 257pi?0.4pi?1?0.5pi?0.1pi?1?i?1,2,???,7?，从而整理出
符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合【详解】
（1）由题意可知X所有可能的取值为：?1，0，1
p8和p0的值可求得p1；再次利用累加法可求出p4.
?P?X??1???1????；P?X?0??????1????1???；P?X?1????1???
则X的分布列如下：
XP
?101?1??????0.5，??0.8
????1????1?????1???（2）
?a?0.5?0.8?0.4，b?0.5?0.8?0.5?0.2?0.5，c?0.5?0.2?0.1
（i）即
pi?api?1?bpi?cpi?1?i?1,2,???,7?
pi?0.4pi?1?0.5pi?0.1pi?1?i?1,2,???,7?
?4pi?1?pi?1?i?1,2,???,7? ?pi?1?pi?4?pi?pi?1??i?1,2,???,7?
整理可得：5pi??pi?1?pi??i?0,1,2,???,7?是以p1?p0为首项，4为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
pi?1?pi??p1?p0??4i?p1?4i
?p8?p7?p1?47，p7?p6?p1?46，……，p1?p0?p1?40
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1?4848?1作和可得：p8?p0?p1?4?4?????4?p1?p1?1
1?43?017??p1?3 48?11?4444?1311 ?p4?p4?p0?p1?4?4?4?4?p1??8?4?1?434?14?1257?0123?p4表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为
0.8时，认为甲药更有效的概率为p4?说明这种实验方案合理. 【点睛】
本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.
1?0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，257y222．（1）C:x?（2）7 ?1,x?(?1,1]；l:2x?3y?11?0；
42【解析】 【分析】
（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】
216t21?x1?t22y?t??0,x?(?1,1]2 （1）由x?得：，又221?t1?x1?t??1?x1?x?4?1?x??1?x??4?4x2?y2?2
?1?x??1???1?x?16?y2整理可得C的直角坐标方程为：x??1,x?(?1,1]
42又x??cos?，y??sin?
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