（3）x?y=大于等于x和y的最小整数； 解：（3）由*运算的定义可知：x?y=max(x,y)，

x,y?S,有x?y?S，故?运算在S上满足封闭性，所以?运算与非空集合S能构成代数系统； 任取x,y?S,有x?y=max(x,y)=max(y,x)=y?x,所以?运算满足交换律；任取x,y,z?S,有(x?y)?z=max(max(x,y),z)=max(x,y,z)=max(x,max(y,z))=x?(y?z),所以?运算满足结合律； 任取x?S，有x?1=max(x,1)=x=max(1,x)=1?x,所以?运算的单位元是1； 任取x?S，有x?10=max(x,10)=10=max(10,x)=10?x,所以?运算的零元是10；16、

设V1??1,2,3?,?,1,其中x?y表示取x和y之中较大的数。V2??5,6?,?,6，其中x?y表示取x和y之中较小的数。求出V1和V2的所有的子代数。指出哪些是平凡的子代数，哪些是真子代数。

解：（1）V1的所有的子代数是：?1,2,3?,?,1,?1?,?,1,?1,2?,?,1,?1,3?,?,1；V1的平凡的子代数是：?1,2,3?,?,1,?1?,?,1；V1的真子代数是：?1?,?,1,?1,2?,?,1,?1,3?,?,1；（2）V2的所有的子代数是：?5,6?,?,6，?6?,?,6；V2的平凡的子代数是： ?5,6?,?,6，?6?,?,6；V2的真子代数是：?6?,?,6。

习题十一及答案：（P218-219）

1、图11.11给出了6个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格，说明理由 解：（a）、（c）、（f）是格；因为任意两个元素构成的集合都有最小上界和最大下界； （b）不是格，因为{d,e}的最大下界不存在； （d）不是格，因为{b,c}的最小上界不存在； （e）不是格，因为{a,b}的最大下界不存在。

2、下列各集合低于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格。 （1）L={1，2，3，4，5}； （2）L={1，2，3，6，12}；

解：画出哈斯图即可判断出：（1）不是格，（2）是格。 4、设L是格，求以下公式的对偶式： （2）a?(b?c)?(a?b)?(a?c)

解：对偶式为：a?(b?c)?(a?b)?(a?c)，参见P208页定义11.2。 9、针对图11.11中的每个格，如果格中的元素存在补元，则求出这些补元。 解：

（a）图：a,d互为补元，其中a为全下界，d为全上界，b和c都没有补元；

（c）图：a,f互为补元，其中a为全下界，f为全上界，c和d的补元都是b和e，b和e的补元都是c和d； （f）图：a,f互为补元，其中a为全下界，f为全上界，b和e互为补元，c和d都没有补元。 10、说明图11.11中每个格是否为分配格、有补格和布尔格，并说明理由。 解：

（a）图：是一条链，所以是分配格，b和c都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格；

（c）图：a,f互为补元，c和d的补元都是b和e，b和e的补元都是c和d，所以任何元素皆有补元，是有补格；

?c?(b?d)?c?a?c, (c?b)?(c?d)?f?d?d?c?(b?d)?(c?b)?(c?d)，所以?对?运算

不满足分配律，所以不是分配格，所以不是布尔格；

（f）图：经过分析知图（f）对应的格只有2个五元子格：L1={a,c,d,e,f}, L2={a,b,c,d,f}。画出L1和L2的哈斯图可知L1和L2均不同构于钻石格和五角格，根据分配格的充分必要条件（见P213页的定理11.5）得图（f）对应的格是分配格；c和d都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格。