第八章 质点系动力学：矢量方法 习题解答
8-1 一个质量为5 kg弹头M以水平速度v = 60 m/s飞行，在D处爆炸成位于同一水平面内如图示速度方向的两块碎片A和B。已知碎片A的速度大小vA = 90 m/s。试求：(1) 碎片A的质量mA；(2) 碎片B的速度大小vB。
解：取弹头M为研究对象，弹头爆炸前后动量守恒 Mv??M?mA?vBcos30? 解得
0?mAvA??M?mA?vBsin30?
2vvA3v， M，vB??3vAv?3vA代入数据得：mA?1.92kg，vB?112.64m/s.
mA?
题8-1图
8-2 一个质量为m1的人手里拿着质量为m2的物体，以仰角?，速度v0向前跳起。当他到
达最高点时将物体以相对速度u水平地向后抛出。如果不计空气阻力，问由于物体的抛出，跳远距离增加了多少？
解：取m1和m2物体系统为研究对象，人跳至最高点时只有水平速度 v1?v0co?s，
v0sin?。抛物前后系统水平动量守恒，即 g ?m1?m2?v0co?s?m1v1?m2?v1?u?， 式中v1为抛物后人的速度。解得
m2u v1?v0co?， s?m1?m2m2u可见，人的速度增量为Δv1?，从而跳远距离增加
m1?m2muvsin? Δs?tΔv1?20.
?m1?m2?g所费时间 t?
8-3质量为m1的平台AB放在水平面上，平台与水平面
间的滑动摩擦因数为f。质量为m2的小车D由绞车拖动，相对平台的运动规律为s?12bt，其中b为已知常数。不2
题8-3图
计绞车质量，求平台的加速度。
解：1）设平台与水平面间的滑动摩擦因数比较小，当小车D相对平台运动时，平台AB的有速度v1（向左），小车D的相对速度
??bt，（向右）， vr?s小车D的绝对速度
（向右）， va??ve?vr??v1?bt，滑动摩擦力为 F?fFN
1
题8-3受力图
由动量定理，
d??m1v1?m2?bt?v1???F dt ??m1?m2?g?FN?0
解得
m2b?f?m1?m2?gm2b， f?.
?m1?m2?gm1?m2m2b当f?时，a1?0.
?m1?m2?ga1?
8-4 质量为m1的矩形板可在如图所示的光滑水平面上运动。矩形板上有一半径为R的圆
形凹槽，一质量为m2的甲虫以相对速度vr沿凹槽匀速运动。初始时，板静止，甲虫位于圆形槽的最右端（即? = 0）。试求甲虫运动到图示位置时，板的速度和加速度、地面作用在板上的约束力和系统质心的加速度。
解：甲虫和矩形板组成的系统为研究对象，
??Fx?0，
题8-4图 ?px?const
即系统的水平动量守恒. 因初始系统静止，所以有px0?0，在任意瞬时有
px?m1v1?m2?v1?vrsin???0， 解得板的速度v1?m2vrsin?，
m1?m22上式对时间求导得板的加速度
m2vr a1?cos?
m1?m2R?. 其中用到关系 v?R?r
题8-4受力图
显然，因系统的水平动量守恒，所以系统质心的水平加速
度为零，系统质心的铅垂加速度为
m2a2sin?m2vr2aC??sin?，
m1?m2m1?m2R列出铅垂方向的动力学方程
?m1?m2?g?FN??m1?m2?aC
vr2sin?. 从而地面作用在板上的约束力FN??m1?m2?g?m2R 8-5 一人A的质量为m，以相对于绳为vr的速度匀速向上爬，此绳绕过一个定滑轮，在另一端悬挂一质量也为m的物体B。设初始时人静止不动，如图所示。如果绳不可伸长，绳子与滑轮的质量不计，轴承与滑轮之间的摩擦也忽略不计，求重物运动的速度以及定滑轮轴承O处的约束力。
解：取人A和物体B及滑轮组成的系统为研究对象， ?
?m?F??0，
O
2
题8-5图
?意瞬时，
，LO?const
即系统对O点的动量矩守恒. 因初始系统静止，LO0?0，在任
LO?mvBr?m?vB?vr?r?0，
vr， 2
解得重物运动的速度为 vB?由于重物和人的加速度都为零，所以定滑轮轴承O处的约束力为 FO?2mg.
8-6 如图所示，为测定半径为R的飞轮A对于通过其中心轴O的转动惯量J，在飞轮上绕
以系绳，绳的末端系一质量为m1的重锤，重锤自高度h处落下，测得落下时间为t1。为消去轴承摩擦的影响，再用质量为m2的重锤作第二次试验，测得下落同一高度的时间为t2。假定摩擦力矩为一常数，且与重锤的重量无关，求飞轮的转动惯量J的计算公式。
解：取飞轮和重锤组成的系统为研究对象.
设飞轮角速度为?，则重锤的速度为v?R?，系统对飞轮转轴的动量矩和力矩分别为
LO?J?mR?v，M?J??mvR?2RO?mgR?Mf，
题8-6图
dLO?MO，导出 dtJ?mR2a?mgR?Mf
R由动量矩定理
??解得重锤的加速度 a?于是y?R?mgR?Mf??J?mR?2，
12at，将数据代入，导出 21212 h?a1t1?a2t2
22 解得飞轮的转动惯量为
2222hm2t12?m1t2?g?m1?m2?t12t2 J?R， 222ht2?t1
????摩擦力矩为
22h?m1?m2??m2t2?m1t12g Mf?R. 2t2?t12????
8-7 均质圆柱体A和B的质量均为m，半径均为r，一不可伸长
题8-7图
绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，直线绳段铅垂，如图所示。绳重不计，摩擦不计。求：(1) 圆柱B下落时质心的加速度；(2) 若在圆柱体A上作用一逆时针转向，矩为M的力偶，试问在什么条件下圆柱B的质心加速度方向将向上。
3
解：1）取均质圆柱体A和B连同绳子为研究对象，系统得自由度为2，用圆柱体A的角速度?A，圆柱B质心的速度vC表达系统的速度状态，B轮缘上一点E的速度为
vE?r?A?vC?r?B，
由此得圆柱B的角速度 ?B?vC??A. r5mrvC 2系统对O点的动量矩为
LO?JA?A?JB?B?2mrvC?系统对O点的力矩为 MO?2mg rdLO?MO，导出 根据动量矩定理 dt5mraC?2mgr. 24解得 aC?g.
5
系统的受力图
（2）若在圆柱体A上作用一逆时针转向的力偶M，则系统对O点的力矩为 MO?2mgr?M 根据动量矩定理
dLO?MO，导出 dt5mraC?2mgr?M. 2显然，要使aC?0，须M?2mg.
8-8 质量为m1的均质圆柱体A，放在一不光滑的水平桌面上，柱的外缘绕一细绳，绳子
绕过定滑轮O并悬挂一质量为m2的重物B，如图所示。 不计滑轮质量，假设圆柱只滚不滑并且圆柱体与滑轮之间的绳子是水平的，求圆柱体中心O1的加速度，重物的加速度及绳中的张力。
解：1） 取圆柱体O1为研究对象，圆柱体O1作纯滚动，列出平面运动微分方程，
?F?ma ?M?J
xCx， FT?F?m1aO1， （a）
题8-8图
O11Fr?Fr?m1r2?O1， (b) ， ?TO1A2 2）取重物B为研究对象，列出动力学方程
m2g?FT?m2aB， (c)
上面（a）、(b)和(c)三式中含有5个未知数，再需列出2个运动学补充方程。为此，以圆柱体上O1为基点，计算绳的加速度，有
aO1?r?A?aB， (d) 圆柱体作纯滚动，
aO1?r?A， (e) 联立方程（a）- (d), 解得
4
题8-8受力图