C．112 2．二项式(x＋A．第6项 C．第8项
2
12
D．224
x)的展开式中的常数项是( )
B．第7项 D．第9项
3?x－a?5
3．已知??的展开式中含x2的项的系数为30，则a等于( )
x??
A．－6 B．－3 C．3 D．6
4．1－2Cn＋4Cn－8Cn＋16Cn＋…＋(－2)Cn的值为( ) A．1 B．－1 C．(－1) D．3 5．(x＋
23
求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系．
)展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数．
nnn1
2
3
4
nnx
答案精析
问题导学 知识点
思考1 (a＋b)＝a＋3ab＋3ab＋b，(a＋b)＝a＋4ab＋6ab＋4ab＋b.
思考2 (a＋b)的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)的展开式有5项，每一项的次数为4.
思考3 能，(a＋b)＝Cna＋Cna梳理 Cna＋CnaCnarn－rr0n1n－1
3
4
3
3
2
2
3
4
4
3
22
3
4
n0n1n－1
n－kknb＋…＋Ckb＋…＋Cnnanb (n∈N＋)．
n－rrnrb＋…＋Crb＋…＋Cnnanb Cn(r＝0,1,2，…，n)
b
题型探究
例1 (1)解 方法一 (3x＋(3x)(1)＋C4(
3
4
1
x)＝(3x)＋C4(3x)(
4413
1
x)＋C4(3x)(
22
1
x)＋C4
23
1
xx1
12142
)＝81x＋108x＋54＋＋2.
xx方法二 (3x＋1
x3x＋144
)＝()＝
xxx2
1141223344234
(1＋3x)＝2[1＋C4·3x＋C4(3x)＋C4(3x)＋C4(3x)]＝2(1＋12x＋54x＋108x＋81x)＝
xx1
122＋＋54＋108x＋81x. 2
x(2)解 原式＝Cn(x＋1)＋Cn(x＋1)
nnn0n1n－1
(－1)＋Cn(x＋1)
2n－2
(－1)＋…＋Cn(x＋1)
2kn－k(－1)
k＋…＋Cn(－1)＝[(x＋1)＋(－1)]＝x. 引申探究
1511213051423324解 方法一 (2x－2)＝C5(2x)－C5(2x)·2＋C5(2x)·(2)－C5(2x)·(2)＋C5
nxxxx14515804010152
(2x)·(2)－C5·(2)＝32x－80x＋－4＋7－10.
xxxxxx15111353513232333
方法二 (2x－2)＝[2(2x－1)]＝－10(1－2x)＝－10[1－C5(2x)＋C5(2x)－C5(2x)＋
xxxxC5(2x)－C5(2x)]＝－
434535
1
10
x＋0
10408025
－80x＋32x. 7－4＋
xxx跟踪训练1 解 原式＝C5(2x＋1)－C5(2x＋1)＋C5(2x＋1)－C5(2x＋1)＋C5(2x＋1)－C5(2x＋1)＝[(2x＋1)－1]＝(2x)＝32x.
0
5
5
5
514233245
例2 解 (3x－
r10－r2102rr10－r)的展开式的通项是Tr＋1＝C10(3x)(－)＝ 3x3x(r＝0,1,2，…，10)．
3
C103
2r(－)·x3
10?3r2(1)展开式的第4项(r＝3)的二项式系数为C10＝120. (2)展开式的第4项的系数为 2337
C103(－)＝－77 760.
3
(3)展开式的第4项为T4＝T3＋1＝－77 760x. 跟踪训练2 解 (1)因为T3＝
?2?22
Cn(x)?－?＝4Cnx?x?
2
n－2
n?62，
n?32?2?T2＝Cn(x)?－?＝－2C1nx?x?
1
n－1
，
2
1
依题意得4Cn＋2Cn＝162，所以2Cn＋Cn＝81， 所以n＝81，n＝9.
(2)设第r＋1项含x项，则Tr＋1＝
3
2
21
?2?rrrC9(x)?－?＝(－2)C9x?x?
r9－r9?3r2，
9－3r所以＝3，r＝1，
2
所以第二项为含x的项，T2＝－2C9x＝－18x. 二项式系数为C9＝9. 例3 解 通项公式为
1
3
13
3
Tr＋1＝Cxrnrnn?r3(－3)xn?2r3r?r3
＝C(－3)xr.
(1)∵第6项为常数项，∴当r＝5时，有(2)令
n－2r3
＝0，即n＝10.
n－2r31
＝2，得r＝(n－6)＝2，
2
2
2
∴所求的系数为C10(－3)＝405.
??
(3)由题意得，?0≤k≤10，
??k∈Z.
10－2r∈Z，3
10－2r令＝t(t∈Z)，
33
则10－2r＝3t，即k＝5－t.
2∵r∈Z，∴t应为偶数． 令t＝2,0，－2，即k＝2,5,8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x，－61 236,295 245x. 跟踪训练3 (1)1 (2)160 当堂训练
1．C 2.D 3.A 4.C 5．解 由题意知，Cn＝Cn. ∴n＝17. ∴Tr＋1＝C17xr8
9
2
－2
17?r2·2·xr?r3＝C17·2·xrr17?rr?23.
17－rr由－＝1，解得r＝9.
23∴Tr＋1＝C17·x·2·x， 即T10＝C17·2·x. 其一次项系数为C17·2.
9
9
9
9
9
4
9
－3