2017_18版高中数学第一章计数原理5.1二项式定理学案北师大版选修 下载本文

C.112 2.二项式(x+A.第6项 C.第8项

2

12

D.224

x)的展开式中的常数项是( )

B.第7项 D.第9项

3?x-a?5

3.已知??的展开式中含x2的项的系数为30,则a等于( )

x??

A.-6 B.-3 C.3 D.6

4.1-2Cn+4Cn-8Cn+16Cn+…+(-2)Cn的值为( ) A.1 B.-1 C.(-1) D.3 5.(x+

23

求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列方程求出r,再求所需的某项;有时需先求n,计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系.

)展开式第9项与第10项二项式系数相等,求x的一次项系数.

nnn1

2

3

4

nnx

答案精析

问题导学 知识点

思考1 (a+b)=a+3ab+3ab+b,(a+b)=a+4ab+6ab+4ab+b.

思考2 (a+b)的展开式有4项,每项的次数是3;(a+b)的展开式有5项,每一项的次数为4.

思考3 能,(a+b)=Cna+Cna梳理 Cna+CnaCnarn-rr0n1n-1

3

4

3

3

2

2

3

4

4

3

22

3

4

n0n1n-1

n-kknb+…+Ckb+…+Cnnanb (n∈N+).

n-rrnrb+…+Crb+…+Cnnanb Cn(r=0,1,2,…,n)

b

题型探究

例1 (1)解 方法一 (3x+(3x)(1)+C4(

3

4

1

x)=(3x)+C4(3x)(

4413

1

x)+C4(3x)(

22

1

x)+C4

23

1

xx1

12142

)=81x+108x+54++2.

xx方法二 (3x+1

x3x+144

)=()=

xxx2

1141223344234

(1+3x)=2[1+C4·3x+C4(3x)+C4(3x)+C4(3x)]=2(1+12x+54x+108x+81x)=

xx1

122++54+108x+81x. 2

x(2)解 原式=Cn(x+1)+Cn(x+1)

nnn0n1n-1

(-1)+Cn(x+1)

2n-2

(-1)+…+Cn(x+1)

2kn-k(-1)

k+…+Cn(-1)=[(x+1)+(-1)]=x. 引申探究

1511213051423324解 方法一 (2x-2)=C5(2x)-C5(2x)·2+C5(2x)·(2)-C5(2x)·(2)+C5

nxxxx14515804010152

(2x)·(2)-C5·(2)=32x-80x+-4+7-10.

xxxxxx15111353513232333

方法二 (2x-2)=[2(2x-1)]=-10(1-2x)=-10[1-C5(2x)+C5(2x)-C5(2x)+

xxxxC5(2x)-C5(2x)]=-

434535

1

10

x+0

10408025

-80x+32x. 7-4+

xxx跟踪训练1 解 原式=C5(2x+1)-C5(2x+1)+C5(2x+1)-C5(2x+1)+C5(2x+1)-C5(2x+1)=[(2x+1)-1]=(2x)=32x.

0

5

5

5

514233245

例2 解 (3x-

r10-r2102rr10-r)的展开式的通项是Tr+1=C10(3x)(-)= 3x3x(r=0,1,2,…,10).

3

C103

2r(-)·x3

10?3r2(1)展开式的第4项(r=3)的二项式系数为C10=120. (2)展开式的第4项的系数为 2337

C103(-)=-77 760.

3

(3)展开式的第4项为T4=T3+1=-77 760x. 跟踪训练2 解 (1)因为T3=

?2?22

Cn(x)?-?=4Cnx?x?

2

n-2

n?62,

n?32?2?T2=Cn(x)?-?=-2C1nx?x?

1

n-1

2

1

依题意得4Cn+2Cn=162,所以2Cn+Cn=81, 所以n=81,n=9.

(2)设第r+1项含x项,则Tr+1=

3

2

21

?2?rrrC9(x)?-?=(-2)C9x?x?

r9-r9?3r2,

9-3r所以=3,r=1,

2

所以第二项为含x的项,T2=-2C9x=-18x. 二项式系数为C9=9. 例3 解 通项公式为

1

3

13

3

Tr+1=Cxrnrnn?r3(-3)xn?2r3r?r3

=C(-3)xr.

(1)∵第6项为常数项,∴当r=5时,有(2)令

n-2r3

=0,即n=10.

n-2r31

=2,得r=(n-6)=2,

2

2

2

∴所求的系数为C10(-3)=405.

??

(3)由题意得,?0≤k≤10,

??k∈Z.

10-2r∈Z,3

10-2r令=t(t∈Z),

33

则10-2r=3t,即k=5-t.

2∵r∈Z,∴t应为偶数. 令t=2,0,-2,即k=2,5,8.

∴第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为405x,-61 236,295 245x. 跟踪训练3 (1)1 (2)160 当堂训练

1.C 2.D 3.A 4.C 5.解 由题意知,Cn=Cn. ∴n=17. ∴Tr+1=C17xr8

9

2

-2

17?r2·2·xr?r3=C17·2·xrr17?rr?23.

17-rr由-=1,解得r=9.

23∴Tr+1=C17·x·2·x, 即T10=C17·2·x. 其一次项系数为C17·2.

9

9

9

9

9

4

9

-3