5.1 二项式定理

学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

知识点 二项式定理

思考1 我们在初中学习了(a＋b)＝a＋2ab＋b，试用多项式的乘法推导(a＋b)，(a＋b)的展开式．

思考2 上述两个等式的右侧有何特点？

思考3 能用类比方法写出(a＋b)(n∈N＋)的展开式吗？

梳理 二项式定理 二项式定理 二项展开式 二项式系数 二项式通项 在二项式定理中，若a＝1，b＝x，则(1＋x)＝1＋Cnx＋Cnx＋…＋Cnx＋…＋x.

类型一 二项式定理的正用、逆用 例1 (1)求(3x＋

1

n1

22

2

2

2

3

4

n公式(a＋b)＝____________________，称为二项式定理 等号右边的式子叫作(a＋b)的二项展开式 各项的系数____________________叫作二项式系数 式中________________叫作二项展开式的第r＋1项，又叫作二项式通项 nnrrnx)的展开式．

4

引申探究

15

将本例(1)改为求(2x－2)的展开式．

x1

(2)化简：Cn(x＋1)－Cn(x＋1)

0nn－1

＋Cn(x＋1)

2n－2

－…＋(－1)Cn(x＋1)

kkn－k＋…＋(－1)Cn.

nn反思与感悟 (1)(a＋b)的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.

(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．

跟踪训练1 化简(2x＋1)－5(2x＋1)＋10(2x＋1)－10(2x＋1)＋5(2x＋1)－1.

类型二 二项展开式通项的应用 命题角度1 二项式系数与项的系数 210

例2 已知二项式(3x－).

3x5

4

3

2

n

(1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数； (3)求第4项．

反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数Cn(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．

(2)第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Cn.例如，在(1＋2x)的展开式中，第四项是T4＝C71＝280.

2?n?跟踪训练2 已知?x－?展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.

7

37－3

rr(2x)，其二项式系数是C7＝35，而第四项的系数是C72

3333

?x?

(1)求n的值；

(2)求展开式中含x的项，并指出该项的二项式系数．

3

命题角度2 展开式中的特定项

?33?

n?例3 已知在x－?的展开式中，第6项为常数项．

?3?

x??

(1)求n；

(2)求含x的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．

反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第r项，Tr＝Cnarpqr－1n－r＋1r－1

2

b.

②求含x的项(或xy的项)． ③求常数项． ④求有理项．

(2)求二项展开式的特定项的常用方法

①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．

②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．

③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

跟踪训练3 (1)若?x－?的展开式中x的系数是－84，则a＝________. x??

a?9

3

?

2n(2)已知n为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则(x＋)的二项展开式的常数项是

x________．

1．(x＋2)的展开式中x的系数是( ) A．28

B．56

8

6