匠心文档，专属精品。
第八节 函数与方程
【考纲下载】
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
1．函数的零点 (1)定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 与x轴的 交点 零点个数 3.二分法的定义
(x1,0)，(x2,0) 两个 (x1,0) 一个 无交点 零个 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零
匠心教育系列
1
匠心文档，专属精品。
点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？
提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．
2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？ 提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0.
3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？
提示：不一定，可能有多个．
1．(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
A B C D
解析：选C 由图象可知，选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．
2．(教材习题改编)用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f (4)<0，给2＋4定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在
2的区间为( )
A．(2,4) B．(3,4) C．(2,3) D．(2.5,3)
解析：选C ∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，∴f(3)·f(4)>0， ∴零点x0所在的区间为(2,3)．
3．函数f(x)＝log2x＋x－4的零点所在的区间是( )
匠心教育系列 2
匠心文档，专属精品。
1?A.??2，1? B．(1,2) C．(2,3) D．(3, 4)
解析：选C 因为f(2)＝log22＋2－4＝－1<0，f(3)＝log23－1>0，所以f(2)·f(3)<0，故零点所在的一个区间为(2,3)．
4．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B 函数f(x)＝ex＋3x零点的个数，即为函数y＝ex与y＝－3x图象交点的个数．在同一坐标系下画出y＝ex与y＝－3x的图象如图．
故函数f(x)＝ex＋3x只有一个零点．
1?|x|5．函数y＝??2?－m有两个零点，则m的取值范围是________．
1?|x|解析：在同一直角坐标系内，画出y1＝??2?和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0 答案：(0,1) 数学思想(四) 利用数形结合解决方程根的问题 在解决与方程的根或函数零点有关的问题时，如果按照传统方法很难奏效时，常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决． 2??a－ab，a≤b，[典例] (2012·福建高考)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝?2设f(x) ?b－ab，a>b.? ＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________． [解题指导] 方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实数根，即函数f(x)的图象与直线y＝m 匠心教育系列 3 匠心文档，专属精品。 恰有三个不同的交点，可借助图形确定x1，x2，x3的范围，进而求出x1x2x3的范围． ??2x－1?2－?2x－1??x－1?，x≤0，? [解析] 由定义可知，f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝? 2??x－1?－?2x－1??x－1?，x>0，? 2??2x－x，x≤0，即f(x)＝?2作出函数f(x)的图象，如图所示， ?－x＋x，x>0.? 关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线y1 ＝m有三个不同的交点，则0 4 当x>0时，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，∴x2＋x3＝1， 1?2－x＝，?2xx＋x123?24∴0 1－3 得x＝， 4 1－33－13－11－3 [答案] ? ?1－3? ? ?16，0? [题后悟道] 1.解决本题的关键有以下三点： (1)根据新定义正确求出函数f(x)的解析式，并准确画出其图象； (2)利用一元二次方程根与系数的关系及基本不等式确定x2x3的范围； (3)正确确定x1的取值范围． 2．函数y＝f(x)有零点?方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．在解决函数与方程的问题时，要注意这三者之间的关系，在解题中充分利用这个关系与实际问题的转化． 若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝lg x，x>0，??0，x＝0，?1??－x，x<0， 则方程f(x)－g(x)＝0在区间[－5,5]上的解的个数为( ) A．5 B．7 C．8 D．10 解析： 匠心教育系列 4 匠心文档，专属精品。 选C 依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象，结合图象得，当x∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f(x)－g(x)＝0在区间[－5,5]上的解的个数为8. 匠心教育系列 5