习题课2 动能定理的应用

[学习目标]1.进一步理解动能定理，领会应用动能定理解题的优越性.2.会利用动能定理分析变力做功、曲线运动以及多过程问题.

一、利用动能定理求变力的功

1.动能定理不仅适用于求恒力做功，也适用于求变力做功，同时因为不涉及变力作用的过程分析，应用非常方便.

2.利用动能定理求变力的功是最常用的方法，当物体受到一个变力和几个恒力作用时，可以用动能定理间接求变力做的功，即W变＋W其他＝ΔEk.

例1 如图1所示，质量为m的小球自由下落d后，沿竖直面内的固定轨道ABC运动，AB1

是半径为d的光滑圆弧，BC是直径为d的粗糙半圆弧(B是轨道的最低点).小球恰能通过圆

4弧轨道的最高点C.重力加速度为g，求：

图1

(1)小球运动到B处时对轨道的压力大小. (2)小球在BC运动过程中，摩擦力对小球做的功. 3

答案 (1)5mg (2)－mgd

4

v212

解析 (1)小球下落到B点的过程由动能定理得2mgd＝mv，在B点：FN－mg＝m，得：

2dFN＝5mg，根据牛顿第三定律：FN′＝FN＝5mg. v2C

(2)在C点，mg＝m.小球从B运动到C的过程：

d212123

mvC－mv＝－mgd＋Wf，得Wf＝－mgd. 224

针对训练 如图2所示，某人利用跨过定滑轮的轻绳拉质量为10kg的物体.定滑轮的位置比A点高3m.若此人缓慢地将绳从A点拉到B点，且A、B两点处绳与水平方向的夹角分别为37°和30°，则此人拉绳的力做了多少功？(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计滑轮的

摩擦)

图2

答案 100J

解析 取物体为研究对象，设绳的拉力对物体做的功为W.根据题意有h＝3m. hh

物体升高的高度Δh＝－.①

sin30°sin37°对全过程应用动能定理W－mgΔh＝0.② 由①②两式联立并代入数据解得W＝100J. 则人拉绳的力所做的功W人＝W＝100J. 二、利用动能定理分析多过程问题

一个物体的运动如果包含多个运动阶段，可以选择分段或全程应用动能定理.

(1)分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解.

(2)全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力做的功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解.

当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便.

注意：当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移.计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和. 例2 如图3所示，右端连有一个光滑弧形槽的水平桌面AB长L＝1.5m，一个质量为m＝0.5kg的木块在F＝1.5N的水平拉力作用下，从桌面上的A端由静止开始向右运动，木块到达B端时撤去拉力F，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10m/s2.求：

图3

(1)木块沿弧形槽上升的最大高度(木块未离开弧形槽)； (2)木块沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑动的最大距离. 答案 (1)0.15m (2)0.75m

解析 (1)设木块沿弧形槽上升的最大高度为h，木块在最高点时的速度为零.从木块开始运动

到沿弧形槽上升的最大高度处，由动能定理得： FL－FfL－mgh＝0

其中Ff＝μFN＝μmg＝0.2×0.5×10N＝1.0N FL－FfL

所以h＝

mg＝

?1.5－1.0?×1.5

m＝0.15m

0.5×10

(2)设木块离开B点后沿桌面滑动的最大距离为x.由动能定理得： mgh－Ffx＝0

mgh0.5×10×0.15

所以：x＝＝m＝0.75m

Ff1.0三、动能定理在平抛、圆周运动中的应用

动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：

(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量.

(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：

①有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为vmin＝0. ②没有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为vmin＝gR. 例3 如图4所示，一可以看成质点的质量m＝2kg的小球以初速度v0沿光滑的水平桌面飞出后，恰好从A点沿切线方向进入圆弧轨道，其中B为轨道的最低点，C为最高点且与水平桌面等高，圆弧AB对应的圆心角θ＝53°，轨道半径R＝0.5m.已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不计空气阻力，g取10m/s2.

图4

(1)求小球的初速度v0的大小；

(2)若小球恰好能通过最高点C，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功. 答案 (1)3m/s (2)－4J

解析 (1)在A点由平抛运动规律得： v05

vA＝＝v0.①

cos53°3

小球由桌面到A点的过程中，由动能定理得 112

mg(R＋Rcosθ)＝mv2A－mv0② 22

由①②得：v0＝3m/s.

mv2112C(2)在最高点C处有mg＝，小球从桌面到C点，由动能定理得Wf＝mv2C－mv0， R22代入数据解得Wf＝－4J.

1.(用动能定理求变力的功)如图5所示，质量为m的物体与水平转台间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R，物体随转台由静止开始转动.当转速增至某一值时，物体即将在转台上滑动，此时转台开始匀速转动.设物体的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，则在整个过程中摩擦力对物体做的功是( )

图5

A.0 C.2πμmgR 答案 D

解析 物体即将在转台上滑动但还未滑动时，转台对物体的最大静摩擦力恰好提供向心力，mv2设此时物体做圆周运动的线速度为v，则有μmg＝.①

R

在物体由静止到获得速度v的过程中，物体受到的重力和支持力不做功，只有摩擦力对物体1

做功，由动能定理得：W＝mv2－0.②

21

联立①②解得W＝μmgR.

2

2.(利用动能定理分析多过程问题)滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来.如图6是滑板运动的轨道，BC和DE是两段光滑圆弧形轨道，BC段的圆心为O点，圆心角为60°，半径OC与水平轨道CD垂直，水平轨道CD段粗糙且长8m.某运动员从轨道上的A点以3m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道BC，经CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回.已知运动员和滑板的总质量为60 kg，B、E两点到水平轨道CD的竖直高度分别为h和H，且h＝2 m，H＝2.8 m，g取10 m/s2.求：

B.2μmgR μmgR

D. 2