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数据:tan 39.3°≈0.82,tan 84.3°≈10.02)

3.[2018山东青岛]某区域平面示意图如图所示,点O在河的一侧,AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°,乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°,且AC=840 m,BC=500 m.请求出点O到BC的距离.

参考数据:sin 73.7°≈,cos 73.7°≈,tan 73.7°≈.

参考答案

第一节 角、相交线与平行线

1.C ∵∠BOD=76°,∴∠AOC=76°.∵射线OM平分∠AOC,∴∠AOM=∠AOC=×76°=38°,

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∴∠BOM=180°-∠AOM=180°-38°=142°.故选C.

2.C 如图,∵直尺的对边互相平行,∴∠3=∠1=50°,∴∠2=180°-50°-90°=40°.故选C.

3.C 如图,延长FE,交DC于点N,∵直线AB∥EF,∴∠DNF=∠BCD=95°.∵∠CDE=25°,∴∠DEF=95°+25°=120°.故选C.

4.D ∵∠AGE=32°,∴∠DGE=148°.由折叠可得,∠DGH=∠DGE=74°.∵AD∥BC,∴∠GHC=180°-∠DGH=106°,故选D.

5.150°42' ∵∠BOC=29°18',∴∠AOC=180°-29°18'=150°42'.

6.35 ∵∠AOD=145°,∠AOB=90°,∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=145°-90°=55°,∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-55°=35°.

第二节 三角形及其性质

1.D ∵a,b,c为△ABC的三条边长,∴a+b>c,∴a+b-c>0,c-a-b<0,故原式=a+b-c+(c-a-b)=a+b-c+c-a-b=0,故选D.

2.B ∵CO=AO,∠AOC=130°,∴∠CAO=25°,又∵∠AOB=70°,∴∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°,故选B.

3.A 由折叠的性质可得∠A'=∠A=α.设AC交DA'于点F,∵∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA',∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β.故选A.

4.A 易得∠ACD=180°-(∠BAC+∠ABC)=70°,∴∠CAD=90°-∠ACD=20°.∵AE是∠BAC的平分线,∴∠CAE=∠BAC=25°,∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=25°-20°=5°,∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°.

5.A ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=9,点D为AB的中点,∴CD=AB=.∵CF=CD,∴DF=CD=×=3.∵BE∥DC,∴DF是△ABE的中位线,∴BE=2DF=6.故选A.

6.A ∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°.∵AD⊥BC,∴BD=CD,∴AD垂直平分BC,∴EB=EC,∴∠ECB=∠EBC=45°,∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=60°-45°=15°.

7.A ∵∠AOB=60°,OA=OB,∴△OAB是等边三角形,∴OA=AB,∠OAB=∠ABO=60°.①当点C在线段OB上时,如图(1),∵△ACD是等边三角形,∴AC=AD,∠CAD=60°,∴∠OAC=∠BAD,∴△AOC≌△ABD,∴∠ABD=∠AOC=60°,∴∠DBE=180°-∠ABO-∠ABD=60°=∠AOB,∴BD∥OA.②当点C在OB的延长线上时,如图(2),同①的方法可得出BD∥OA.故选A.

图(1) 图(2)

8.D 符合题意的等腰三角形有如图所示的7种情况.

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9.B 由题意可得,∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠AMN=∠B=30°.∵AN=1,∴MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6,故选B.

10.5 设第三边的长为a,根据三角形的三边关系,得5-1

11.6 过点D作DG⊥AC于点G.在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD,BD=CD,∴DG=DE=3 cm.∵BF⊥AC,∴DG∥BF,又BD=CD,∴DG是△CBF的中位线,∴BF=2DG=6 cm. 12.30°,150°或90° 分两种情况讨论.①BC为腰,∵AD⊥BC,AD=BC,∴∠ACD=30°,如图(1),AD在△ABC内部时,顶角∠C=30°;如图(2),AD在△ABC外部时,顶角∠ACB=180°-30°=150°.②BC为底,如图(3),∵AD⊥BC,AD=BC,AB=AC,∴AD=BD=CD,∴∠BAD=∠CAD=45°,∴∠BAC=90°.综上所述,等腰三角形ABC的顶角度数为30°,150°或90°.

图(1) 图(2) 图(3)

13.-1 如图,过点A作AF⊥BC于点F.在Rt△ABC中,AC=AB=,∠B=45°,∴BC=AB=2.∵AF⊥BC,∴AF=BF=CF=1.在Rt△AFD中,AF=1,AD=BC=2,∴DF=CD=DF-FC=-1.

=

,∴

14.2

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15.或 在等边三角形ABC中,BC=AB=2 cm,点M为BC的中点,∴BM= cm.分两种情况讨论.①如图(1),当点B'落在AB上时,∵点B与点B'关于直线MN对称,∴∠BNM=90°,又∵∠B=60°,∴BN=BM= cm.②如图(2),当点B'落在AC上时,连接B'M,∵点B与点B'关于直线MN对称,∴B'M=BM=MC,∠BMN=∠B'MN.又∵∠C=60°,∴△B'MC是等边三角形,∴∠B'MC=60°,∴∠BMB'=120°,∴∠BMN=60°.又∵∠B=60°,∴△BMN是等边三角形,∴BN=BM= cm.综上所述,BN的长为或 cm.

图(1) 图(2)

=5,S△

16.3.6,4.32或4.8 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=

ABC=

AB·BC=6.沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,

等腰三角形ABP=

有三种情况:①当AP=AB=3时,如图(1)所示,SS△ABC=×6=3.6;②当

=

=2.4,∴

BP=AB=3,且点P在AC上时,如图(2)所示,作△ABC的高BD,则BD=AD=DP=

=1.8,∴AP=2AD=3.6,∴S

等腰三角形ABP=

S△ABC=×6=4.32;③当

CP=CB=4时,如图(3)所示,S等腰三角形BCP=3.6,4.32或4.8.

S△ABC=×6=4.8.综上所述,等腰三角形的面积为

图(1) 图(2) 图(3)

第三节 全等三角形

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