可见??1是OLS估计量。

例5．假设模型为Yt????Xt??t。给定n个观察值(X1,Y1)，(X2,Y2)，?，

(Xn,Yn)，按如下步骤建立?的一个估计量：在散点图上把第1个点和第2个点连接起来

并计算该直线的斜率；同理继续，最终将第1个点和最后一个点连接起来并计算该条线的斜率；最后对这些斜率取平均值，称之为??，即?的估计值。

（1）画出散点图，给出??的几何表示并推出代数表达式。

（2）计算??的期望值并对所做假设进行陈述。这个估计值是有偏的还是无偏的？解释理由。

（3）证明为什么该估计值不如我们以前用OLS方法所获得的估计值，并做具体解释。解答：

（1）散点图如下图所示。

（X2,Y2） （Xn,Yn）

（X1,Y1）

首先计算每条直线的斜率并求平均斜率。连接(X1,Y1)和(Xt,Yt)的直线斜率为

(Yt?Y1)/(Xt?X1)。由于共有n－1条这样的直线，因此

t?n???1n?1?[Yt?Y1]

t?2Xt?X1（2）因为X非随机且E(?t)?0，因此

E[Yt?Y1t)?(???X1??1)X[(???Xt??E[?t??1t?X]?E1Xt?X]???1Xt?X]??

1这意味着求和中的每一项都有期望值?，所以平均值也会有同样的期望值，则表明是无偏的。

（3）根据高斯－马尔可夫定理，只有?的OLS估计量是最付佳线性无偏估计量，这里得到的??的有效性不如?的OLS估计量，所以较差。

5

因此，

例6．对于人均存款与人均收入之间的关系式St????Yt??t使用美国36年的年度数据得如下估计模型，括号内为标准差：

??384.105?0.067YStt(151.105)(0.011)

R2

（1）?的经济解释是什么？（2）?和?的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？（3）对于拟合优度你有什么看法吗？（4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。你的结论是什么？

解答：

（1）?为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加化量。

（2）由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储蓄为负，因此号应为负。储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加而增加，因此预期实际的回归式中，?的符号为正，与预期的一致。但截距项为负，与预期不符。这可能与由于模型的错误设定形造成的。截距项的估计产生影响；另一种可能就是线性设定可能不正确。 （3）拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中表明收入的变化可以解释储蓄中（4）检验单个参数采用情形下在零假设下t 分布的自由度为2.750与2.704之间。斜率项计算的384.105/151.105=2.54。可见斜率项计算的斜率项为零的假设，但不拒绝截距项为零的假设。

＝0.538 ???19.902 3

1%水平下）。同时对零假设和备择假1美元时人均储蓄的预期平均变如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为，

53.8 %的变动。

t检验，零假设为参数为零，备择假设为参数不为零。双变量n-2=36-2=34。由t分布表知，t值为0.067/0.011=6.09，截距项计算的t 值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝 三、习题

?的符号为正。省略该变量将对53.8%的拟合优度，1%下的临界值位于t6

?符双侧值为

（一）基本知识类题型 2-1．解释下列概念： 1) 总体回归函数 2) 样本回归函数 3) 随机的总体回归函数 11) 最大似然法 12) 估计量的标准差 13) 总离差平方和 4) 线性回归模型

5) 随机误差项（ui）和残差项（6) 条件期望 7) 非条件期望 8) 回归系数或回归参数9) 回归系数的估计量10) 最小平方法

2-2．判断正误并说明理由：1) 随机误差项ui和残差项2) 总体回归函数给出了对应于每一个自变量的因变量的值3) 线性回归模型意味着变量是线性的4) 在线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果5) 随机变量的条件均值与非条件均值是一回事

2-3．回答下列问题：1) 线性回归模型有哪些基本假设？违背基本假设的计量经济学模型是否就不可估计？2) 总体方差与参数估计误差的区别与联系。3) 随机误差项ui和残差项4) 根据最小二乘原理，拟合优度问题？5) 为什么用决定系数6) R2检验与F检验的区别与联系。7) 回归分析与相关分析的区别与联系。

ei）

ei是一回事ei的区别与联系。所估计的模型已经使得拟合误差达到最小，R2评价拟合优度，而不用残差平方和作为评价标准？14) 回归平方和 15) 残差平方和 16) 协方差 17) 拟合优度检验 18) t检验 19) F检验

为什么还要讨论模型的

7

8) 最小二乘法和最大似然法的基本原理各是什么？说明它们有何区别？ 9) 为什么要进行解释变量的显著性检验？

10) 是否任何两个变量之间的关系，都可以用两变量线性回归模型进行分析？

2-2．下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？

⑴ yt????xtt?1,2,?,n ⑵ yt????xt??tt?1,2,?,n

⑶ yt??????xt??tt?1,2,?,n ⑷ y?t??????xt??tt?1,2,?,n

⑸ y??????txtt?1,2,?,n ⑹ y??t?????xtt?1,2,?,n

⑺ y?????t?xt???tt?1,2,?,n ⑻

y?t??????xt???tt?1,2,?,n

其中带“＾”者表示“估计值”。

2-3．下表列出若干对自变量与因变量。对每一对变量，你认为它们之间的关系如何？是正的、负的、还是无法确定？并说明理由。

因变量 自变量 GNP 利率 个人储蓄 利率 小麦产出 降雨量 美国国防开支 前苏联国防开支 棒球明星本垒打的次数 其年薪 总统声誉 任职时间 学生计量经济学成绩 其统计学成绩 日本汽车的进口量 美国人均国民收入

（二）基本证明与问答类题型

2-4．对于一元线性回归模型，试证明： （1）E(yi)????xi

（2）D(y2i)??

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