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方法2：待定系数法 通过凑配可转化为 解题基本步骤： 1、确定f(n)=kn+b 2、设等比数列3、列出关系式
bn?(an?xn?y)(an?xn?y)?p(an?1?x(n?1)?y);
，公比为p
,即
bn?pbn?1(an?xn?y)?p(an?1?x(n?1)?y)
4、比较系数求x,y 5、解得数列
(an?xn?y)的通项公式
a6、解得数列?n?的通项公式 例7 在数列
{an}中，
a1?1,an?1?3an?2n,求通项an.（逐项相减法）
a?3an?2n,解：?，n?1 ① ?n?2时，an?3an?1?2(n?1)，
两式相减得
an?1?an?3(an?an?1)?2.令
bn?an?1?an,则
bn?3bn?1?2
n?1n?1b?5?3?2a?a?5?3?1 ② n利用类型5的方法知n 即 n?1再由累加法可得
an?an?5n?11?3?n?22. 亦可联立 ① ②解出
5n?11?3?n?22.
练习. 在数列{an}中，解：原递推式可化为
a1?3,2an?an?1?6n?32,求通项an.（待定系数法）
2(an?xn?y)?an?1?x(n?1)??y2bn?bn?1比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以?bn?是一个等比数列，首项
1991?bn?()n?12,公比为2.22
b1?a1?6n?9?第 9 页 共 21 页
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1an?6n?9?9?()n2 即：
1an?9?()n?6n?92故.
5.形如an?2?pan?1?qan 时将an作为f(n)求解
分析：原递推式可化为an?2??an?1?(p??)(an?1??an) 的形式，比较系数可求得?，数列?an?1??an?为等比数列。 例8 已知数列解：设
{an}满足
an?2?5an?1?6an,a1??1,a2?2，求数列
{an}的通项公式。
an?2??an?1?(5??)(an?1??an)
比较系数得???3或???2，不妨取???2，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同） 则
an?2?2an?1?3(an?1?2an)a?2an?，则?n?1是首项为4，公比为3的等比数列
?an?1?2an?4?3n?1，所以an?4?3n?1?5?2n?1
a?4an?1?3an?0练习1.数列{an}中，若a1?8,a2?2,且满足n?2,求an.
na?11?3n答案： .
1a?1,a?an(4?an),n?Nn?1{an}的各项都是正数,且满足:02练习2.已知数列， 求数列
{an}的通项公式an.
解：
an?1?11an(4?an)?[?(an?2)2?4],2(an?1?2)??(an?2)222所以
1211221122211?2???2n?12n令bn?an?2,则bn??bn??(?b)???()b????()bn?1n?2n?1222222又
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1n1nbn??()2?1,即an?2?bn?2?()2?122bn=－1，所以.
方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设cnn???bn，则
c
12cn?12,转化为上面类型（1）来解
五、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例9 已知数列{an}满足an?1?2an,a1?1，求数列{an}的通项公式。 an?2解：求倒数得
111111?11?1首项?1，??,???,????为等差数列，
an?12anan?1an2?an?1an?a1公差为
1121，??(n?1),?an?
an2n?12ra?0a?pan?1n六、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p>0，n 2??an?的通项公an?a?2aa?1nn?1（n≥2）.求数列1例10. 设正项数列满足，
式.
anaaanan?1b?loglog?1?2(log?1)log?1?2logn2?1，22解：两边取对数得：2，2，设
nn?1则
bn?2bn?11?bn?b?log12?1?1 是以2为公比的等比数列，
n?12ann?1n?1na?2bn?1?2n?1?2n?1，logalog?2?1n2?1?22，，∴
?1
练习 数列
?an?中，a1?1，an?22?nan?1（n≥2），求数列
?an?的通项公式.
2?2a?2n答案：
5例11 已知数列{an}满足an?1?2?3n?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。 5，a1?7，所以an?0，an?1?0。 解：因为an?1?2?3n?an第 11 页 共 21 页
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两边取常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2
设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y) （同类型四）
lg3lg3lg2,y?? 4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2由lga1??1???lg7??1???0，得
41644164lg3lg3lg2lgan?n???0，
4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2??所以数列{lgan?为首项，以5为公比n??}是以lg7?41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1的等比数列，则lgan?n???(lg7???)5，因此
41644164比较系数得， x?lgan?(lg7?lg3lg3lg2n?1lg3lg3lg2??)5?n??41644641411614n?1?[lg(7?3?3?2)]5?lg(7?3?3?2)?lg(75n?1?3则an?75?3
n?1?lg(3?3?2)n411614n411614141161n?145
?lg(3?3?2))5n?4n?116?25n?1?145n?4n?116?25n?1?14。
七、换元法 适用于含根式的递推关系 例12 已知数列{an}满足an?1?公式。
解：令bn?1?24an，则an?代入an?1?12(bn?1) 241(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项161(1?4an?1?24an)得 1612112(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn] 24162422即4bn ?(b?3)?1n因为bn?1?24an?0，
13则2bn?1?bn?3，即bn?1?bn?，
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