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an?anan?1aa??L?3?2?a1an?1an?2a2a1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]?L?[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3 ?2n?1[n(n?1)?L?3?2]?5(n?1)?(n?2)?L?2?1?3?3?2n?1n(n?1)2?5?n!n?1所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.
22?n?1?an?nan?an?1an?0n??a?1n练习2.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，
3，…），则它的通项公式是an=________. 解：已知等式可化为：
(an?1?an)?(n?1)an?1?nan??0
*?an?0(n?N)?(n+1)an?1an?1n??nan?0n?1 , 即anann?1?n ?n?2时，an?1an?anan?1a????2?a1n?1?n?2??1?11an?1an?2a1n?12=n. =n?评注：本题是关于an和an?1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an?1的更为明显的关系式，从而求出an.
练习.已知答案：
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式
an?1?1?n(an?1),an?1?nan?n?1,an?1?nan?n?1,a1??1,求数列{an}的通项公式.
an?(n?1)!?(a1?1)-1.
转化为 形式，进而应
若令
bn?an?1,则问题进一步转化为
bn?1?nbn用累乘法求出数列的通项公式.
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三、待定系数法 适用于an?1?qan?f(n)
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 1．形如
an?1?can?d,(c?0,其中a1?a)型
（1）若c=1时，数列{an}为等差数列; （2）若d=0时，数列{an}为等比数列;
（3）若c?1且d?0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法：设得
an?1???c(an??),
比较系数得
an?1?can?(c?1)?,与题设
an?1?can?d,(c?1)??d,所以
??ddd,(c?0)an??c(an?1?)c?1c?1c?1 所以有：
d??da??n?a1?c?1?构成以c?1为首项，以c为公比的等比数列， 因此数列?所以
an?dddd?(a1?)?cn?1an?(a1?)?cn?1?c?1c?1c?1c?1. 即：
an?1?can?d规律：将递推关系
{an?化为
an?1?dd?c(an?)c?1c?1,构造成公比为c
的等比数列
ddd}an?1??cn?1(a1?)c?1从而求得通项公式1?cc?1
例4.已知数列{an}中，a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?的通项公式。 解：Qan?2an?1?1(n?2),
?an?1?2(an?1?1)
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又Qa1?1?2,??an?1?是首项为2，公比为2的等比数列
?an?1?2n，即an?2n?1
四．逐项相减法（逐差法1）：有时我们从递推关系有列
an?can?1?d{an?1?an}an?1?can?d中把n换成n-1
,两式相减有
an?1?an?c(an?an?1)从而化为公比为c的等比数
na?a?c(a2?a1),再利用类型(1)即可求n?1n,进而求得通项公式.
得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例5已知数列{an}中，a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?的通项公式。 解：Qan?2an?1?1(n?2),
?an?1?2an?1
两式相减得an?1?an?2(an?an?1)(n?2)，故数列?an?1?an?是首项为2，公比为2
的等比数列，再用累加法的……
{an}练习．已知数列中，
a1?2,an?1?11an?,22求通项an。
1an?()n?1?12答案：
na?p?a?qn?1n2．形如： (其中q是常数，且n?0,1) na?a?qn?1n①若p=1时，即：，累加即可. na?p?a?qp?1n?1n②若时，即：，
n?1p求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等
差数列
an?1n?1p即：
?anqn?an1p1pnbn?1?bn??()n?()bn?npqpq,令p，则,然后类型1，累
加求通项.
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n?1qii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。
an?1n?1q即：
?pan1?n?qqq,
bn?1?p1?bn?qq.然后转化为类型5来解，
令
bn?anqn,则可化为
iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设
an?1???qn?1?p(an???pn).通过比较系数，求出?，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求p?q，否则待定系数法会失效。 例6已知数列
{an}满足
an?1?2an?4?3n?1，a1?1a，求数列?n?的通项公式。
an?1??13n??2(an???3n?1)???4,?2?2，
解法一（待定系数法）：设，比较系数得1
?a则数列
n?1?4?3?n1?1a?4?3??5，公比为2的等比数列， 1是首项为
n?1n?1n?1n?1a?4?3??5?2a?4?3?5?2所以n，即n
an?12an4??n?2n?1n?1n?1q33333，下面解法解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：
略
an?1an43n?n??()n?1n?1n?1p32，下面解2解法三（两边同除以）： 两边同时除以2得：2法略
511,an?1?an?()n?1，求an。 632112解：在an?1?an?()n?1两边乘以2n?1得：2n?1?an?1?(2n?an)?1
32322令bn?2n?an，则bn?1?bn?1,应用例7解法得：bn?3?2()n
33b1n1n?3()?2() 所以an?nn232练习. 已知数列?an?中，a1? 3．形如
an?1?pan?kn?b (其中k,b是常数，且k?0)
方法1：逐项相减法（逐差法）
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