∵HQ⊥平面BGD， ∴HQ∥GN， ∴

=

=，

∴HQ=CN． △DGC中，GC=

，DM=

， ，

由GD?CN=GC?DM，得CN=∴HQ=

，

∵直角梯形ABCD中，GH=，∴sin∠HGQ=∴直线PM与平面BGD所成角的正弦值为

．

=，

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

20．（13分）（2017?枣庄一模）已知函数f（x）=x?ex﹣1﹣a（x+lnx），a∈R． （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为x轴，求a的值： （2）在（1）的条件下，求f（x）的单调区间；

（3）若?x＞0，f（x）≥f（m）恒成立，且f（m）≥0，求证：f（m）≥2（m2﹣m3）． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）求出函数f（x）的对数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可； （2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（3）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而证明不等式即可．

【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=ex﹣1+x?ex﹣1﹣a（1+）， 故f（1）=1﹣a，f′（1）=2﹣2a，

故切线方程是：y﹣（1﹣a）=（2﹣2a）（x﹣1），

17

即y=（2﹣2a）x+a﹣1；

由2﹣2a=0，且a﹣1=0，解得：a=1；

（2）由（1）得a=1，f′（x）=（x+1）（ex﹣1﹣）， 令g（x）=ex﹣1﹣，x∈（0，+∞）， ∵g′（x）=ex﹣1+

＞0，故g（x）在（0，+∞）递增，

又g（1）=0，x∈（0，1）时，g（x）＜g（1）=0， 此时f′（x）＜0，f（x）递减，

x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=0，此时f′（x）＞0，f（x）递增， 故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增； （3）f′（x）=（x+1）（ex﹣1﹣）， 令h（x）=ex﹣1﹣，x∈（0，+∞），

①a≤0时，h（x）＞0，此时f′（x）＞0，f（x）递增，无最小值， 故a≤0不合题意；

②a＞0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增， 取实数b，满足0＜b＜min{， }， 则eb﹣1＜

=

，﹣＜﹣2，

﹣2＜0， ＞1﹣

=

＞0，

，

故h（b）=eb﹣1﹣＜又h（a+1）=ea﹣

∴存在唯一的x0∈（b，a+1），使得h（x0）=0，即a=x0

x∈（0，x0）时，h（x）＜h（x0）=0，此时f′（x）＜0，f（x）递减， x∈（x0，+∞）时，h（x）＞h（x0）=0，此时f′（x）＞0，f（x）递增， 故x=x0时，f（x）取最小值，

由题设，x0=m，故a=m?em﹣1，lna=lnm+m﹣1， f（m）=mem﹣1（1﹣m﹣lnm）， 由f（m）≥0，得1﹣m﹣lnm≥0，

令ω（m）=1﹣m﹣lnm，显然ω（x）在（0，+∞）递减， ∵ω（1）=0，∴，1﹣m﹣lnm≥0，故0＜m≤1，

18

下面证明e

m﹣1

≥m，令n（x）=e

m﹣1

﹣m，则n′（m）=e

m﹣1

﹣1，

m∈（0，1）时，n′（x）＜0，n（x）在（0，1）递减， 故m∈（0，1]时，n（m）≥n（1）=0，即em﹣1≥m，

两边取对数，得lnem﹣1≥lnm，即m﹣1≥lnm，﹣lnm≥1﹣m， 故1﹣m﹣lnm≥2（1﹣m）≥0，

∵em﹣1≥m＞0，∴f（m）=m?em﹣1（1﹣m﹣lnm）≥m2，2（1﹣m）=2（m2﹣m3）， 综上，f（m）≥2（m2﹣m3）．

【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题．

21．（14分）（2017?枣庄一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：x2=4y的焦点F是椭圆

（a＞b＞0）的一个顶点．过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于另一点

D，交抛物线E于A、B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C于P、Q两点，记直线OM的斜率为k'，满足（1）求椭圆C的方程；

（2）记△PDF的面积为S1，△QAB的面积为S2，设最大值时直线l的方程．

，求实数λ的最大值及取得

．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）由题意设出直线l的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，求出D的坐标，利用中点坐标公式求得M的坐标，得到OM的斜率结合已知求得a值，则椭圆方程可求； （2）由（1），知点D的坐标为（

），又F（0，1），可得|DF|．由

．

，

利用弦长公式求得|AB|．求出直线OM的方程为y=﹣

由，求得P、Q的坐标，由点到直线的距离公式求得点P到直线kx﹣y+1=0的距离

19

，点Q到直线kx﹣y+1=0的距离．代入三角形面积

公式，整理后利用基本不等式求得实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程． 【解答】解：（1）由题意可设直线l的方程为y=kx+1， 联立

，得（1+a2k2）x2+2a2kx=0．

解得：∴M（由∴a2=4．

则椭圆C的方程为

，．

），则k′=

．

，，得

，

；

），又F（0，1），

（2）由（1），知点D的坐标为（

∴|DF|=

，得x2﹣4kx﹣4=0．

．

由

△=16k2+16＞0恒成立．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4． 因此

由题意，直线OM的方程为y=﹣

．

=

．

由

，得（1+4k2）x2﹣16k2=0．

显然，△=﹣4（1+4k2）（﹣16k2）＞0恒成立，且x=不妨设

，则

． ．

20