2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷 解析版 下载本文

【分析】(1)根据待定系数法即可求得;

(2)根据A、B的坐标求得对称轴为x=1,设点P的坐标为(l,y).由PC=BC根据勾股定理列出12+(y+5)2=52+52.解得即可;

(3)作PH⊥BC,垂足为点H,根据勾股定理求得BC,然后求得直线BC的解析式,进而求得

D

的坐标,然后根据

S

PBC

=S

PCD+S

PBD

,列出

.求得PH,解正弦函数即可.

【解答】解:(1)∵抛物线y═x2+bx+c经过点M(3,﹣4),A(﹣3.0),

解得:,

∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣5; (2)∵A(﹣3,0),B(5,0), ∴这条抛物线的对称轴为直线x=l. 设点P的坐标为(l,y).

∵PC=BC,点B的坐标为(5,0),点C的坐标为(0,5). ∴PC2=BC2. 12+(y+5)2=52+52. 解得y=2或y=﹣12.

∴点P的坐标为(1,2)或(l,﹣12); (3)作PH⊥BC,垂足为点H.

∵点B(5.0),点C(0,5),点P(1,2),

∴PC=BC=5.

设直线BC的解析式为y=kx﹣5, 代入B(5,0)解得k=1, ∴直线BC的解析式为y=x﹣5, 把x=1代入得,y=﹣4,

∴直线BC与对称轴相交于点D(1,﹣4), ∴PD=6,

∵S△PBC=S△PCD+S△PBD, ∴

解得PH=3∴sin∠PCB=

=.

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、锐角三角函数的定义,三角形面积等,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,灵活运用三角形面积公式,属于中考常考题型.

25.(14分)已知AB是圆O的一条弦,P是圆O上一点,过点O作MN⊥AP,垂足为点M,并交射线AB于点N,圆O的半径为5,AB=8. (1)当P是优弧

的中点时(如图),求弦AP的长;

(2)当点N与点B重合时,试判断:以圆O为圆心,为半径的圆与直线AP的位置关系,并说明理由;

(3)当∠BNO=∠BON,且圆N与圆O相切时,求圆N半径的长.

【分析】(1)连接PO并延长交弦AB于点H,由垂径定理得出PH⊥AB,AH=BH,由勾股定理得出OH=由勾股定理求出AP即可;

(2)作OG⊥AB于G,先证明△OBG∽△ABM,得出OM=,由<,即可的距离;

(3)作OD⊥AB于D,由勾股定理求出OD=

=3,证出BN=OB=5,得出=

,求出BM=

,得出

=3,在△APH中,∠AHP=90°,PH=OP+OH=8,

DN的长,再由勾股定理求出ON,然后由相切两圆的性质即可得出圆N的半径. 【解答】解:(1)连接PO并延长交弦AB于点H,如图1所示: ∵P是优弧

的中点,PH经过圆心O,

∴PH⊥AB,AH=BH,

在△AOH中,∠AHO=90°,AH=AB=4,AO=5, ∴OH=

=3,

在△APH中,∠AHP=90°,PH=OP+OH=5+3=8, ∴AP=

=4

(2)当点N与点B重合时,以点O为圆心,为半径的圆与直线AP相交;理由如下:作OG⊥AB于G,如图2所示: ∵∠OBG=∠ABM,∠OGB=∠AMB, ∴△OBG∽△ABM, ∴

,即

=,

解得:BM=∴OM=

﹣5=,

∵<,

∴当点N与点B重合时,以点O为圆心,为半径的圆与直线AP相交; (3)作OD⊥AB于D,如图3所示: ∵OA=OB=5, ∴AD=DB=AB=4, ∴OD=

=3,

∵∠BNO=∠BON, ∴BN=OB=5, ∴DN=DB+BN=9,

在Rt△ODN中,由勾股定理得:ON=∵圆N与圆O相切, ∴圆N半径=3

﹣5.

=3

【点评】本题是圆的综合题目,考查了垂径定理、直线与圆的位置关系、相切两圆的性

质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识;本题综合性强,熟练掌握直线与圆的位置关系、相切两圆的性质是解题的关键.