这边对某一组进行详细论述，数字化后的输入信号和本地产生信号点对点相乘，乘积的5000个实部与虚部均方根代表某一个输出点的幅值。每隔200ns对新输入的数据执行一次上述操作，当输入电文长度为偏移5000个点后，也就是搜索了长为1ms的电文。其中含有5000个幅值点且本地信号有21个，将会产生105000个幅值，当出现一个高于阈值的幅值点时，这个最高值所在的输入电文点就是C/A码的起始点，如果fi频率分量产生了这个最高值，则这个fi即为载波频率。 3.3.2 循环相关捕获方法
循环相关能够将其当成是传统手段的简化算法，两者产生相同的结果。首先，本文先对循环相关的主要运算进行分析，具体内容如下：
如果一个输入信号经过一个线性时不变系统，卷积运算可产生时域结果，FFT可产生频域结果，如果系统脉冲响应为h?t?，则输入信号x?t?可以通过卷积得到如下的y?t?：
y?t???x?t???h???d???x???h?t???d???????
(3-7）
经过傅里叶变换，y?t?的频域响应为： Y?f??????????x???h?t???d?e??j2?ftdt ??x??????????h?t????e?j2?ftdtd??(3-8）
令t???u，则 Y?f???x???????????h?u?e?j2?fudue?2?f?d??j2?f?? ?H?f??x???e???(3-9）
d??H?f?X?f?对Y?f?进行傅里叶反变换，可得时域输出，结果如下： y?t??x?t??h?t??F?1??X?f?H?f???
(3-10）
其中，?为卷积，F?1为傅里叶反变换。
由此，我们可以看出时域的卷积等效于频域的傅里叶变换，两者关系可写为： x?t??h?t??X?f?H?f????X?f??H?f??x?t?h?t???(3-11）
可将这种特性称为傅里叶变换中卷积的二元性。
这种思想同样适用于离散系统。不同的是，响应y?n?为： y?n???x?m?h?n?m?m?0N?1(3-12）
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其中，x?m?为输入信号，h?n?m?为离散时域系统响应，对y?n?进行DFT，结果为：
Y?k????x?m?h?n-m?e?n?0m?0N-1N-1N-1-j2?kn?N?N-1-j2??n-m?k?N??-j2?mk? ??x?m???h?n-m?e??em?0?n?0? ?H?k??x?m?e?n?0N-1-j2?mk?NN(3-13）
?X?k?H?k?
上述式3-12和式3-13称为周期卷积，它不会得出预想的线性卷积结果。
但是，卷积运算并不在捕获中使用，而是使用相关运算，x?n?和h?n?的关系为： z?n???x?m?h?n?m?m?0N?1(3-14）
其中，m前符号不同，因为它不是线性系统的脉冲响应。z?n?的DFT变换为：
Z?k????x?m?h?n?m?e?n?0m?0N-1N-1N-1-j2?kn?N?N-1-j2?n?mkN?-j2?mk? ??x?m???h?n?m?e?????e?m?0?n?0? ?H?k??x?m?e?n?0N?1-j2?mk?NN(3-15）
?H?k?X?1?k?
其中，X?1?k?是离散傅里叶反变换。式3-15还可以表示为：
Z?k????x?n?m?h?m?e?n?0m?0?N-1N-1-j2?kn?N??H?1?k?X?k?(3-16）
如果x?n?为实数，x?n??x?n?， ?表示复共轭。因此，Z?K?的幅值为：
Z?k??H??k?X?k??H?k?X??k?
(3-17）
根据式3-17可得到输入信号和本地产生信号的相关性，即提供了循环相关性。
论述了这些运算法则，输入电文通过5 MHz的数字化，只有1ms的输入电文来找到C/A码的起始点，搜索步进频率分辨率为1kHz，捕获步骤如下：
（1）对1ms的输入电文进行FFT，结果为，X?k?，其中n=k=0,1,2,...,4999; （2）取X?k?的复共轭为X??k?；
（3）利用式3-6生成21个本地码，然后采用5 MHz的采样频率执行数字化； （4）对本地码lsi?n?进行FFT得到lsi?k?；
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（5）把X??k?和lsi?k?点对点相乘得到Rsi?k?；
（6）对Rsi?k?进行傅里叶反变换，时域中的值则为rsi?n?，则获得了105000（5000?21）个Rsi?n?；
（7）在输入电文200ns的分辨率下和载波频率为1kHz分辨率的条件下，Rsi?n?最大值中的第n个和第i个载波频率即为捕获到的C/A码，以上操作如图3-6所示：
图3-6 循环相关捕获过程图
3.3.3 延迟与累积捕获方法
为了去除输入信号中的频率数据是延迟与累积捕获方法主要目的，这样只需要用本地产生码去找到C/A码的起始点，找到起始点，就可以通过FFT或者DFT得到其载波频率。从理论上来看，这个方法是非常有效的，但是在实际处理中要考虑的问题有很多。例如，该方法要求输入信号都为复数量，而实际采集到的数据都是实数，必须要有转换成复数这一个步骤，又是一个额外计算。还有当两个含噪声的信号进行相乘时，在搜索1ms的电文时某个卫星可能不能被捕获到。但是该方法实际处理比前两种方法相对复杂，实际考虑的问题也更多。
3.4 捕获不确定性的相关处理
从1ms的电文中能够获取的分辨率为1 kHz，这个值太粗糙，用于下一步的跟踪会产生误差。因此为了得到精细频率分辨率（简称精频），可以通过相位关系来解决这个不确定性。将输入信号剥离了C/A码，输入就变为连续信号，假设在m时刻，1ms的电文中含有最高频率分量为Xm?k?（k为输入信号的频率分量），则通过DFT输出可以获的输入信号的初始相位：
?m?k??tan?1?
?Im?Xm?k????
?Re?Xm?k?????
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(3-18）
其中，Im和Re分别表示虚部和实部。
假设在m时刻之后瞬间的n时刻，输入电文的DFT分量Xm?k?也为最强分量，因为短时间内输入分量变化不大，因此，n时刻的初始相位角和频率分量k为：
?Im?Xn?k????n?k??tan??
?Re?Xn?k??????1 (3-19）
由这两个相位角可以算得精频为： f??n?k???m?k?
2??n?m? (3-20）
其中，?n?m?为两组连续电文间的延时。
?n?k???m?k?的式3-20得到的频率分辨率比从DFT中得到的精确的多。为了保持f的唯一性，
值必须小于2?，如果大于2?，带宽为?n?m?。
但是，仅用式3-20求解精频，取DFT得第k个分量，频率分辨率为1kHz，不确定宽度也为1kHz，如果输入信号落在了两个频率分量之间，由于存在噪声，其相位无法确认，如图3-7所示。
(a) 频率相离
(b) 输入信号
图3-7 循环相关捕获示意图
为解决这种不确定性，当输入为连续信号时，我们采用幅值比较方法来处理，具体步骤如下： （1）对1ms的输入电文采用循环相关捕获方法，按照上文的操作方法可以在1 kHz的分辨率下获取C/A码的起始点和载波频率。
（2）找到最高频率分量X?k?，在同一个毫秒数据内的两个分量，一个比X?k?中的k值低
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