2016浙江精彩题选——解析几何解答题

1.（2016名校联盟第一次）19．（本题满分15分）

y2x2已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左右焦点为F，离心率为e.直线l:y=ex+a1,F2ba与x轴、y轴分别交于点A,B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F关于直线

l的对称点，设.

（Ⅰ）若l=34，求椭圆C的离心率； （Ⅱ）若DPF1F2为等腰三角形，求l的值.

1

x2y22.（2016温州一模19）．（本题满分15分）如图，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)经过点

ab(1,62)，且离心率等于．点A,B分别为椭圆C的左、右顶点，M,N是椭圆C上非

22顶点的两点，且?OMN的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点A作AP//OM交椭圆C于点P，求证：BP//ON．

?62P?1()N?2?22?1Mab?2???a?4AOBc2 解：（Ⅰ）由题意得： ?，解得：?2

e????b?2?a2?222?a?b?c?? 22xy??1 ……………………………………5分 故椭圆C的方程为：42（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线OM,ON的方程为y?kOMx，y?kONx

yx?y?kOMx2kOM2?联立方程组?x2y2，解得M(,),

22?11?2kOM1?2kOM???42同理可得N(?21?2k2ON,?2kON1?2k2ON),……………………………………7分

作MM'?x轴, NN'?x轴,M',N'是垂足,

S?OMN=S梯形MM'N'N?S?OMM'?S?ONN'

1 ?[(yM?yN)(xM?xN)?xMyM?xNyN]

21 ?(xMyN?xNyM)

2?4kON4kOM1?(?)

222221?2kOM1?2kON1?2kOM1?2kON ?已知S?OMN?2(kOM?kON)1?2k2OM1?2k2ON……………………………………9分

12，化简可得kOMkON??.……………………………………11分

222设P(xP,yP),则4?xP， ?2yP1又已知kAP?kOM,所以要证kBP?kON,只要证明kAPkBP??……………………13分

2yPyPy2P1而kAPkBP??2??

xP?2xP?2xP?42所以可得BP//ON…………………………………………………………………………15分

（M,N在y轴同侧同理可得）

解法二：设直线AP的方程为y?kOM(x?2)，代入x2?2y2?4

2222?2和xP 得(2kO?1)x?8kx?8kMOMOM?4?0，它的两个根为

22?4kOM4kOM 可得xp? ……………………………………7分 y?P222kOM?12kOM?1 从而kBP4kOM22kOM?11??? 22kOM2?4kOM?222kOM?111?kON 即kOMkON?? …………………………………9分

22kOM 所以只需证? 设M(x1,y1)，N(x2,y2)，若直线MN的斜率不存在，易得x1?x2??2 从而可得kOMkON??分

1 …………………………………102x2y2??1 若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y?kx?m， 代入42 得(2k2?1)x2?4kmx?2m2?4?0

2m2?44km 则x1?x2??2，x1x2?，??8(4k2?2?m2)?0………1122k?12k?1分

S?OMN8(4k2?2?m2)11?|m|?|x1?x2|?|m|??2 2222k?12242222 化得m?(4k?2)m?(2k?1)?0，得m?2k?1 ………………………13

分

kOM?kONy1y2k2x1x2?km(x1?x2)?m2m2?4k22k2?1?4k21 ??????x1x2x1x22m2?42(2k2?1)?42 ………………………………………………15

分

3.(2016嵊州期末)（本小题满分15分）

x2y26已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率为，直线l：x?y?1?0与C相交于A，Bab3两点．

（Ⅰ）证明：线段AB的中点为定点，并求出该定点坐标；

uuuruuur?7?（Ⅱ）设M?1,0?，MA??BM，当a??时，求实数?的取值范围． ，3??2???

622解：（Ⅰ）由离心率为，得a?3b． ………………2分 3?x2?3y2?3b2?0，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，联立?消去y得4x2?6x?3?1?b2??0

?x?y?1?0，3?1?b?3故x1?x2?，x1x2?， ………………4分

422所以

x1?x23y1?y2x?x1?，?1?12?． 24224?31?故线段AB的中点为定点?，?． ………………6分

?44?uuuruuur（Ⅱ）M?1,0?，MA??BM，得x1?1???1?x2?． ………………8分 132，x???2． 结合x1?x2?解得x2?12(??1)??12??由x1x2?3?1?b2?4得??1??1?2．23b?1………………10分

?7?7??因为a??，故b2??,1?， ………………12分 ,3??2??12???从而??1???510??2??,?． 23b?1?23?1………………13分

?11?解得???,?U?2,3?． ………………15分

?32?法二：本题在运算时用y1???y2

(y1?y2)2再利用y的韦达定理算出?的式子，用来算要好算一点。

y1y2y2x224.（2016嘉兴一模）．（本题满分15分）过离心率为的椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右

2ab焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设|FA|??|FB|，T(2,0). （Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若1???2，求?ABT中AB边上中线长的取值范围． 解：（Ⅰ）∵e?2，c?1，∴a?2,c?1 2x2?y2?1. …7分 即椭圆C的方程为：2

（Ⅱ）（1）当直线的斜率为0时，显然不成立.